4.1. Определители матриц второго и третьего порядка

Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: , |A|, det A, .

Определение 4.1. Определителем матрицы первого порядка А = (а₁₁) называется число а₁₁.

Пример 4.1. Например: если дана матрица первого порядка А = (3), то определитель этой матрицы |A| = 3.

Определение 4.2. Определителем матрицы второго порядка А =  называется число, которой находится по формуле: |A| =  = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

Пример 4.2. Если дана матрица второго порядка А = , то определитель этой матрицы |A| =  = 14 – 23 = 4 – 6 = –2.

Определение 4.3. Определителем матрицы третьего порядка А =  называется число, которой находится по формуле: |A| = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₃₁а₂₃ + а₂₁а₁₃а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₃₂а₂₃ – а₃₃а₂₁а₁₂.

Это число состоит из шести слагаемых, в каждое слагаемое в качестве множителей входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Для запоминания формулы можно воспользоваться наглядным правилом знаков для выписывания произведений, входящих в разложение определителя третьего порядка. Схема на рис. 4.1 называется правилом треугольника или правилом Саррюса¹⁰.

Правило составления выражения для определителя третьего порядка строится следующим образом. Из членов, входящих со знаком «+», один будет произведением элементов главной диагонали, каждый из двух других – произведением элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла матрицы (рис. 4.1). Члены, входящие со знаком «–», строятся таким же, образом относительно другой диагонали.

Существует еще вторая схема правила Саррюса: к определителю приписывают справа два первых столбца и вычисляют сумму произведений элементов расположенных на главной диагонали и «прямых», параллельных ей, со знаком минус вычисляют сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей.

= а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃.

Пример 4.3. Если дана матрица третьего порядка А = , то определитель этой матрицы |A| =  = 130 + 102 + (–5)(–2)(–2) – (–5)31 – 12(–2) – – 00(–2) = –20 + 15 + 4 = –1.