7.1. Основные понятия

В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить.

Определение 7.1. n-мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел.

Значит а = (₁, ₂, …, _n), где _i  R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа _i называются его координатами.

Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор.

Все множество n-мерных векторов принято обозначать как Rⁿ.

Определение 7.2. Два вектора а = (₁, ₂, …, _n) и b = (₁, ₂, …, _n) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. ₁ = ₁, ₂ = ₂, …, _n = _n.

Определение 7.3. Суммой двух n-мерных векторов а = (₁, ₂, …, _n) и b = (₁, ₂, …, _n) называется вектор a + b = (₁ + ₁, ₂ + ₂, …, _n + _n).

Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (₁, ₂, …, _n) называется вектор kа = (k₁, k₂, …, k_n)

Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором).

Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами:  a, b, c  Rⁿ,  k, l  R :

1. a + b = b + a;

2. a + (b + c) = (a + b) + c;

3. a + о = a;

4. a + (–a) = о;

5. 1a = a, 1  R;

6. k(la) = l(ka) = (lk)a;

7. (k + l)a = ka + la;

8. k(a + b) = ka + kb.

Определение 7.6. Множество Rⁿ с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством.