1.4. Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр n. Метод математической индукции – метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции. Сформулируем этот принцип: утверждение A(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано A(1) и для каждого натурального числа k из предположения, что верно A(k) выведено, что верно A(k + 1).

Доказательство методом математической индукции состоит из трех этапов.

База индукции: проверяем, что A(n) верно при n = 1.

Предположение индукции: предполагаем, что A(k) истинно.

Шаг индукции: доказываем, используя предположение, что истинно A(k + 1).

Замечание 1.6. Если требуется доказать утверждение А(n), где n  N₀, то база индукции начинается с n = 0.

Замечание 1.7. Доказательство методом математической индукции можно начинать не с 1, а с любого натурального m. В этом случае утверждение считается истинным при n  m.

Замечание 1.8. С помощью принципа математической индукции можно давать индукционные определения. При этом для определения понятия А(n) (n  N), во-первых, задается значение А(1); во-вторых, для любого натурального числа k задается правило получения значения А(k + 1) по числу k и значению А(k).

Пример 1.11. Доказать равенство: 1 + 2 + … + n = .

Доказательство. Пусть А(n) = 1 + 2 + … + n.

База индукции: для n = 1 имеем верное равенство 1 = .

Предположение индукции: пусть для n = k имеем верное равенство: 1 + 2 + … + k = .

Шаг индукции: докажем, что при n = k + 1 будет верно равенство: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = . Преобразуем левую часть этого равенства 1 + 2 + … + k + (k + 1) = А(k) + (k + 1) = + (k + 1) = = = = . Получили, что из истинности равенства при n = k (k – произвольное натуральное число) следует его истинность при n = k + 1.

По принципу математической индукции утверждение A(n) верно при любом натуральном n.