Матрицы линейного оператора в различных базисах

Зададим в пространстве V два базиса e₁, e₂, …, e_n и e'₁, e'₂, …, e'_n (старый и новый). Связь между двумя базисами выражается матрицей перехода T . В пространстве V действует линейный оператор . В каждом из этих базисов для линейного оператора найдены матрицы. Обозначим их, соответственно, M()и M'() и установим, как одна из них выражается через другую.

Пусть [x] и [x]' столбцы координат произвольного вектора x в старом и новом базисах соответственно, связь между которыми дает формула: [x] = Т[x]'. Вектор (x) – образ вектора х, пусть [(x)] и [(x)]' – столбцы координат вектора (x) в старом и новом базисах соответственно. Имеет место формула [(x)] = Т[(x)]'.

Вставим в соотношение [(x)] = M()[x] выражение старых координат векторов x и (x) через новые: Т[(x)]' = M()Т[x]'. Умножим полученное равенство слева на матрицу T ^–1 и получим [(x)]' = (T ^–1M()Т )[x]'.

Из теоремы 9.2 о матрице линейного оператора следует, что

M '() = T ^–1M()Т .

Пример 9.3. 1) Линейный оператор  в базисе e₁, e₂ задан формулой (x) = (3х₁ – х₂, х₁ + х₂). Найти матрицу этого линейного оператора в базисе e'₁, e'₂ если e'₁ = 3е₁ + 2е₂, e'₂ = 4е₁ + 3е₂.

Решение. Сначала составим матрицу линейного оператора в старом базисе, для чего нужны координаты образов базисных векторов:

(e₁) = (1, 0) = (31 – 0, 1 + 0) = (3, 1),

(e₂) = (0, 1) = (30 – 1, 0 + 1) = (–1, 1),

M() = .

Затем находим матрицу перехода T и обратную к ней матрицу T ^–1:

e'₁ = 3е₁ + 2е₂  e'₁ = (3, 2),

e'₂ = 4е₁ + 3е₂  e'₂ = (4, 3),

T =  тогда T ^–1 = .

Используем формулу и находим M '() = T ^–1M()Т :

M '() =  =  = .

Ответ: M '() = .

2) Линейный оператор  в базисе e₁, e₂ задан формулой (x) = (2х₁ + 4х₂, –х₁ – 3х₂). Найти матрицу этого линейного оператора в базисе e'₁, e'₂ если e'₁ = –4е₁ + е₂, e'₂ = –е₁ + е₂.

Решение. По рассмотренному алгоритму найдем M() и M '().

Ответ: M() = , M '() = .

Отметим, что в новом базисе матрица линейного оператора приняла диагональный вид.