10.1. Понятие λ-матрицы

Известно, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов приводится к диагональному виду. Однако над множеством действительных чисел линейный оператор может не иметь собственных значений, а значит и собственных векторов. Над множеством комплексных чисел любой линейный оператор имеет собственные векторы, но их может быть недостаточно для базиса. Есть другая каноническая форма матрицы линейного оператора, к которой можно привести любую матрицу над множеством комплексных чисел.

Теорема 10.1. Всякая матрица с комплексными элементами приводится во множестве комплексных чисел C к жордановой¹⁴ нормальной форме.

Дадим необходимые определения:

Определение 10.1. Квадратная матрица порядка n, элементами которой служат многочлены произвольной степени от переменной λ с коэффициентами из множества комплексных чисел C, называется λ-матрицей (или многочленной матрицей, или полиномиальной матрицей).

Примером многочленной матрицы служит характеристическая матрица A – λE произвольной квадратной матрицы A. На главной диагонали стоят многочлены первой степени, вне ее – многочлены нулевой степени или нули. Обозначим такую матрицу как A(λ).

Пример 10.1. Пусть дана матрица A = , тогда A – λE = =  = A(λ).

Определение 10.2. Элементарными преобразованиями λ-матрицы называют следующие преобразования:

1. умножение любой строки (столбца) матрицы A(λ) на любое число, не равное нулю;

2. прибавление к любой i-той строке (i-ому столбцу) матрицы A(λ) любой другой j-ой строки (j-ого столбца), умноженной на произвольный многочлен ().