8.3.1. Конечномерные векторные пространства

Определение 8.7. Векторное пространство V называется n-мерным, если в нем существует линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов, и при этом любая система, состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

В этом случае говорят, что размерность V равна n (dimV = n).

Определение 8.8. Векторное пространство, имеющее размерность, называется конечномерным.

Определение 8.9. Если в векторном пространстве V можно указать линейно независимую систему векторов с каким угодно количеством векторов, то пространство V называется бесконечномерным.

Пример 8.4. 1) Пространство R⁴ четырехмерно, так как в нем есть 4 линейно независимых вектора e₁, e₂, e₃, e₄ и любая другая система векторов, в которой более 4 векторов, линейно зависима.

2) Пространство R[x] бесконечномерно, поскольку система векторов 1, x, x², …, xⁿ линейно независима при любом n.