3. Возведение в степень.

Если z = r(cos + isin), то zⁿ = rⁿ(cos(n) + isin(n)), где n  Z. Данная формула называется формулой Муавра⁹.

Пример 1.15. Для z = – i, найти z⁴.

Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное число записать в тригонометрической форме. В примере 1.12 мы это уже находили z = – i = 2(cos + isin). Тогда z⁴ = (– i)⁴ = (2(cos + isin))⁴ = 2⁴(cos + isin) =  = 16(cos + isin) – тригонометрическая форма результата возведения в четвертую степень данного комплексного числа. Найдем также и алгебраическую форму записи числа z⁴. z⁴ = 16(cos + isin) = 16(cos – isin) = 16( – i) =  = –8 – 8i.