9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора

Для нахождения собственных векторов линейного оператора надо найти решения уравнения (х) = λx, в котором неизвестными величинами являются собственные значения λ линейного оператора  и ненулевые векторы x.

Для нахождения собственных значений линейного оператора  используется следующая теорема.

Теорема 9.13. Множество собственных значений линейного оператора  совпадает с множеством собственных значений его матрицы.

Доказательство. Пусть λ – собственное значение линейного оператора . Это означает, что существует ненулевой вектор x, такой что (х) = λx. Из этого векторного равенства вытекают следующие матричные равенства:

[(х)] = [λx]  M()[x] = λ[x]  M()[x] – λE[x] = [0] 

(M() – λE)[x] = [0]. ()

Равенство () является матричной формой записи однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M() – λE, причем эта система по условию имеет ненулевые решения. Условие существования ненулевых решений – равенство нулю определителя основной матрицы системы, следовательно, выполнятся равенство: |M() – λE| = 0, из которого следует, что λ – собственное значение матрицы M() линейного оператора (х) = λx.

Обратно, пусть λ – собственное значение матрицы M() линейного оператора , то есть |M() – λE| = 0. Из этого равенства следует, что система однородных линейных уравнений () имеет ненулевые решения. Следовательно, существует ненулевой вектор x, такой что (х) = λx и λ – собственное значение линейного оператора .