10.3.Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме

Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали.

Приведем матрицу A(λ) = A – λE к каноническому виду с помощью элементарных преобразований.

A – λE =  .

Отличные от единицы многочлены e_n–j+1(λ), …, e_n–1(λ), e_n(λ) называют инвариантными множителями матрицы A(λ). Среди них нет многочленов равных нулю, сумма степеней всех этих многочленов равна n, и все они раскладываются на линейные множители над множеством комплексных чисел. Пусть e_n–j+1(λ) раскладывается в произведение следующих множителей: , , …, . Назовем эти множители элементарными делителями многочлена e_n–j+1(λ).

Определение 10.7. Элементарными делителями матрицы A(λ) называются элементарные делители всех многочленов e_n–j+1(λ), …, e_n–1(λ), e_n(λ).

Выпишем жорданову матрицу J порядка n, составленную из жордановых клеток определяемых следующим образом: каждому элементарному делителю матрицы A(λ) ставим в соответствие жорданову клетку порядка k_ij, относящуюся к числу _i.

Пусть для некоторой матрицы порядка 9 характеристическая матрица A – λE приведена к каноническому виду.

A – λE = .

e₁ = e₂ = e₃ = e₄ = e₅ = e₆ = 1, e₇ =  – 2, e₈ = ( – 2)( – 5)², e₉ = ( – 2)³( – 5)² – инвариантные множители матрицы A – λE, ( – 2), ( – 2), ( – 5)², ( – 2)³, ( – 5)² – элементарные делители матрицы A – λE.

Получаем: две клетки порядка 1, относящиеся к числу 2, две клетки порядка 2, относящиеся к числу 5 , одну клетку порядка 3, относящуюся к числу 2, Выпишем жорданову форму матрицы A