9.7.1. Свойства собственных векторов

1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению.

Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями ₁ и ₂. Тогда (x) = ₁х и (x) = ₂x. Отсюда ₁х = ₂x  (₁ – ₂)x = 0 и так как вектор x ненулевой, то (₁ – ₂) = 0  ₁ = ₂.

2. Если вектор x – собственный вектор линейного оператора  с собственным значением λ, то вектор y = kx (k  0) тоже собственный с тем же собственным значением λ.

Доказательство. (y) = (kx) = k(x) = k(x) = (kx) = y. Следовательно, вектор y – собственный вектор оператора  с собственным значением .

3. Множество собственных векторов с одним и тем собственным значением λ при добавлении нулевого вектора образует подпространство пространства V.

Доказательство. Обозначим это множество символом L^(). Докажем, что множество L^()  {o} образует подпространство пространства V, для чего проверим его замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на элемент поля.

Пусть x, y  L^()  {o}, тогда (x) = х, (y) = y. Найдем (x + y): (x + y) = (x) + (y) = х + y = (х + y), значит (х + y)  L^()  {o}.

Пусть x  L^()  {o}, k  P, (x) = х, тогда (kx) = k(x) = k(х) = (kх), значит kх  L^()  {o}.

4. Собственные векторы с попарно различными собственными значениями линейно независимы.

Следствие. Линейный оператор, заданный в n-мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n различных собственных значений.