8.3. Базис и размерность векторного пространства

Содержание

• Т. Н. Матыцина е. К. Коржевина линейная алгебра
• Оглавление
• Введение
• 1. Множества
• 1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств
• 1.2. Подмножества. Диаграммы Эйлера – Венна
• 1.3. Операции над множествами и их свойства
• 1. Объединение (или сумма).
• 2. Пересечение (или произведение).
• 3. Разность.
• 4. Декартовое произведение (или прямое произведение).
• Свойства операций над множествами
• 1.4. Метод математической индукции
• 1.5. Комплексные числа
• Операции над комплексными числами
• Геометрическая интерпретация комплексных чисел
• Тригонометрическая форма комплексного числа
• Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
• 3. Возведение в степень.
• 4. Извлечение корня n-ой степени.
• Показательная форма комплексного числа
• 2. Бинарные отношения
• 2.1. Понятие отношения
• Способы задания бинарных отношений
• Операции над бинарными отношениями
• 2.2. Свойства бинарных отношений
• 2.3. Отношение эквивалентности
• 2.4. Функции
• 3. Матрицы и действия над ними
• 3.1. Общие понятия
• 3.2. Основные операции над матрицами и их свойства
• 3.2.1. Сложение однотипных матриц
• 3.2.2. Умножение матрицы на число
• 3.2.3. Умножение матриц
• 3.3. Транспонирование матриц
• 4. Определители квадратных матриц
• 4.1. Определители матриц второго и третьего порядка
• 4.2. Определитель матрицы n-го порядка
• 4.3. Свойства определителей
• 4.4. Практическое вычисление определителей
• 5. Ранг матрицы. Обратная матрица
• 5.1. Понятие ранга матрицы
• 5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров
• 5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
• 5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения
• Алгоритм нахождения обратной матрицы
• Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
• 6. Системы линейных уравнений
• 6.1. Основные понятия и определения
• 6.2. Методы решения систем линейных уравнений
• 6.2.1. Метод Крамера
• 6.2.2. Метод обратной матрицы
• 6.2.3. Метод Гаусса
• Описание метода Гаусса
• 6.3. Исследование системы линейных уравнений
• 6.4. Однородные системы линейных уравнений
• Свойства решений однородной системы линейных уравнений
• Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
• 7. Арифметическое n-мерное векторное пространство
• 7.1. Основные понятия
• 7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов
• Свойства линейной зависимости системы векторов
• Единичная система векторов
• Две теоремы о линейной зависимости
• 7.3. Базис и ранг системы векторов
• Базис пространства Rn
• Ранг системы векторов
• 8. Векторные (линейные) пространства
• 8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем.
• Простейшие свойства векторных пространств
• Линейная зависимость и независимость системы векторов
• 8.2. Подпространства. Линейные многообразия
• Пересечение и сумма подпространств
• Линейные многообразия
• 8.3. Базис и размерность векторного пространства
• 8.3.1. Конечномерные векторные пространства
• Базис конечномерного векторного пространства
• 8.3.2. Базисы и размерности подпространств
• 8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса
• 8.3.4. Координаты вектора в различных базисах
• 8.4 Евклидовы векторные пространства
• Скалярное произведение в координатах
• Метрические понятия
• Процесс ортогонализации
• Скалярное произведение в ортонормированном базисе
• Ортогональное дополнение подпространства
• 9. Линейные операторы
• 9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов
• Способы задания линейных операторов
• 9.2. Матрица линейного оператора Связь между координатами вектора и координатами его образа
• Матрицы линейного оператора в различных базисах
• 9.3. Подобные матрицы
• Свойства отношения подобия матриц
• 9.4. Действия над линейными операторами
• 1. Сложение линейных операторов.
• Свойства сложения линейных операторов
• 9.5. Ядро и образ линейного оператора
• 9.6. Обратимые линейные операторы
• 9.7. Собственные векторы линейного оператора
• 9.7.1. Свойства собственных векторов
• 9.7.2. Характеристический многочлен матрицы
• 9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора
• 9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора
• 9.7.5.Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице
• 10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора
• 10.1. Понятие λ-матрицы
• Свойства λ-матрицы
• 10.2. Жорданова нормальная форма
• 10.3.Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме
• Алгоритм приведения матрицы a к жордановой форме
• 11. Билинейные и квадратичные формы
• 11.1. Билинейные формы
• Свойства билинейных форм
• Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
• 11.2. Квадратичные формы
• Приведение квадратичной формы к каноническому виду
• Закон инерции квадратичных форм
• Классификация квадратичных форм
• Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
• Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы
• Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
• Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
• Заключение
• Библиографический список
• Линейная алгебра
• 156961, Г. Кострома, ул. 1 Мая, 14