9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов

Дано V – векторное пространство над полем P, dim V = n.

Определение 9.1. Говорят, что задано отображение  множества V в себя, если каждому элементу x из V поставлен в соответствие единственный элемент y, тоже принадлежащий V. При этом приняты следующие обозначения и термины: : V  V, : х  y, (х) = y; элемент x – прообраз элемента y, y – образ x.

Определение 9.2. Линейным оператором пространства V называется отображение : V  V такое, что  a, b  V,    Р

1. (a + b) = (a) + (b),

2. (a) = (a).

Вместо «линейный оператор» говорят также «линейное отображение» или «отображение, сохраняющее операции сложения и умножения на элемент поля»

Пример 9.1. 1) В произвольном векторном пространстве V зададим отображение следующей формулой: (х) = kх. Это отображение является линейным оператором и называется оператором гомотетии.

Если k = 1, то отображение примет вид: (х) = 1. Его называют тождественным оператором и обозначают буквой : (х) = х.

Если k = 0, то получают нулевой оператор : (х) = o.

2) В пространстве V = R^22 оператор транспонирования задают формулой (А) = А^t, где А^t – матрица, транспонированная для матрицы А.

3) В пространстве V = R[x]_(n) (многочленов степени, не превосходящей n) можно задать отображение , ставящее в соответствие произвольному многочлену его производную, т. е. : f(x)  f '(x), (f ) = f '. Покажем, что это отображение линейно:

(f + g) = (f + g)' = f ' + g ' = (f ) + (g),

(f ) = (f )' = (f )' = (f ).