3.2.3. Умножение матриц

Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия.

Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Например матрицы А размерности m  n и В размерности n  p будут согласованными.

Обозначим строки матрицы А как А₁, А₂, …, А_m, а столбцы матрицы В как B¹, B², …, B^p. При этом в строке матрицы А столько же элементов, сколько в столбце матрицы В. Это условие позволяет умножать строку матрицы А на столбец матрицы В.

Умножим, например, А₁ на столбец B¹. Пусть А₁ = (а₁ а₂ … а_n), B¹ = тогда А₁B¹ = (а₁ а₂ … а_n) = а₁b₁ + а₂b₂ + … + а_nb_n.

Пример 3.4. Умножим строку (1 2 3 4) на столбец . (1 –2 3 4) = (13 + (–2)2 + 31 + 40) = (2).

Теперь можно определить умножение матриц.

Определение 3.15. Произведением согласованных матриц А размерности m  n и В размерности n  p называется матрица С = (с_ij) размерности m  p, для которой с_ij = А_iB^j, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Обозначение: С = AB = .

Пример 3.5. Найти произведение матриц АВ, где А = , В = .

Решение. Матрицы А_32 и В_24 согласованы, значит можно найти произведение этих матриц АВ, результатом будет матрица размерности 3  4. АВ =  =

=  = 

Свойства умножения матриц

1. Умножение матриц не коммутативно: AB ≠ BA.

Продемонстрировать данное свойство можно на примерах.

Пример 3.6. а) Пусть даны две матрицы: А =  и В = . Перемножим матрицы AB =  =  = , получим матрицу размерности 2  1. Умножить матрицу В = В_21 на матрицу А = А_22 нельзя, так как эти матрицы не согласованные. Т. о. свойство коммутативности для умножения двух матриц не выполняется.

б) Возьмем две матрицы так, чтобы А и В были согласованы и чтобы также В и А были согласованные. Проверим, что при данных условиях свойство коммутативности также не выполняется. Пусть А = А_23 =  и В = В_32 = , найдем их произведения.

AB =  =  = С_22;

ВА =  =  = С_33.

2. Ассоциативность: (AB)С = А(ВС).

3. Для любой квадратной матрицы А и согласованной с ней единичной матрицы Е справедливо равенство: AЕ = ЕA.

4. Дистрибутивный закон умножения матриц относительно сложения матриц:  А, В, С : (A + B)С = (АС) + (ВС) и A(B + С) = (АВ) + (АС).

Пример 3.7. Пусть даны матрицы А = , В =  и С =  проверим справедливость свойства 4.

(A + B)С =  +  =  = ;

(АС) + (ВС) =  +  =  +  = .

5.  k  R,  А, В : k(АВ) = (kА)В = А(kВ).