Показательная форма комплексного числа

Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйлер в 1740 г. опубликовал формулу, которая дает возможность записать комплексное число в показательной форме:

e^i = cos + isin – формула Эйлера.

Тогда z = r(cos + isin) = re^i – показательная форма записи комплексного числа, где r = |z|,  = arg z.

К комплексным числам в показательной форме применимы все правила действия над степенями. Пусть z₁ = r₁, z₂ = r₂, тогда

z₁z₂ = r₁r₂,

= ,

zⁿ = rⁿe^in,

= , где k = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.17. Представить комплексное число z =  + i в показательной форме.

Решение. Имеем z = +i  a = ,b = 1  r = == 2;т. к. a > 0, то  =  = =.Тогда z =  + i = re^i = 2.