Оглавление

Введение 6

1. Множества 7

1. 1. Множества и их элементы. Способы задания множеств 7

1.2. Подмножество. Диаграммы Эйлера – Венна 10

1.3. Операции над множествами и их свойства 12

1.4. Метод математической индукции 18

1.5. Комплексные числа 19

2. Бинарные отношения 30

2.1. Понятие отношения 30

2.2. Свойства бинарных отношений 34

2.3. Отношение эквивалентности 37

2.4. Функции 40

3. Матрицы и действия над ними 41

3.1. Общие понятия 41

3.2. Основные операции над матрицами и их свойства 44

3.2.1. Сложение однотипных матриц 44

3.2.2. Умножение матрицы на действительное число 44

3.2.3. Умножение согласованных матриц 45

3.3. Транспонирование матриц 48

4. Определители квадратных матриц 48

4.1. Определители матриц второго и третьего порядка 48

4.2. Определитель матрицы n-го порядка 51

4.3. Свойства определителей 52

4.4. Практическое вычисление определителей 53

5. Ранг матрицы. Обратная матрица 55

5.1. Понятие ранга матрицы 55

5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров 56

5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований 59

5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения 60

6. Системы линейных уравнений 63

6.1. Основные понятия и определения 63

6.2. Методы решения систем линейных уравнений 65

6.2.1. Метод Крамера 65

6.2.1. Метод обратной матрицы 67

6.2.1. Метод Гаусса 68

6.3. Исследование системы линейных уравнений 73

6.4. Однородные системы линейных уравнений 74

7. Арифметическое n-мерное векторное пространство 78

7.1. Основные понятия 78

7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов 79

7.3. Базис и ранг системы векторов 83

8. Векторные (линейные) пространства 86

8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем 86

8.2. Подпространства. Линейные многообразия 89

8.3. Базис и размерность векторного пространства 91

8.3.1. Конечномерные векторные пространства 91

8.3.2. Базисы и размерности подпространств 93

8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса 95

8.3.4. Координаты вектора в различных базисах 97

8.4. Евклидовы векторные пространства 99

9.  Линейные операторы 106

9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов 106

9.2. Матрица линейного оператора 110

9.3. Подобные матрицы 112

9.4. Действия над линейными операторами 113

9.5. Ядро и образ линейного оператора 115

9.6. Обратимые линейные операторы 116

9.7. Собственные векторы линейного оператора 117

9.7.1. Свойства собственных векторов 118

9.7.2. Характеристический многочлен матрицы 119

9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора 120

9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора 121

9.7.5. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице 123

10.  Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора 126

10.1. Понятие λ-матрицы 126

10.2. Жорданова нормальная форма 129

10.3. Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме 130

11.  Билинейные и квадратичные формы 133

10.1. Билинейные формы 133

10.2. Квадратичные формы 135

Заключение 146

Библиографический список 147