7.3. Базис и ранг системы векторов

Пусть S – система векторов пространства Rⁿ; она может быть как конечной, так и бесконечной. S' – подсистема системы S, S'  S. Дадим два равносильных определения.

Определение 7.14. Базисом системы S называется такая ее подсистема S', что

1. система S' линейно независима;

2. каждый вектор системы S линейно выражается через векторы системы S'.

Определение 7.15. Базисом системы S называется максимальная линейно независимая ее подсистема S', то есть

1. система S' линейно независима;

2. если к S' добавить любой вектор из системы S, то получится линейно зависимая система.

Рассмотрим линейно независимую систему векторов; она совпадает со своей максимальной линейно независимой подсистемой. Это означает, что базис такой системы совпадает с ней самой. Базис ступенчатой системы векторов тоже совпадает с ней самой, в силу ее линейной независимости.

Теорема 7.3. Два различных базиса одной и той же системы векторов содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство. Пусть S –данная система векторов. Векторы а₁, а₂, …, а_m – базис S' системы S, векторы b₁, b₂, …, b_k – базис S'' системы S. Так как а₁, а₂, …, а_m – базис, то b₁, b₂, …, b_k  L(а₁, а₂, …, а_m) и b₁, b₂, …, b_k линейно независимы, тогда по следствию из двух терем 7.1 и 7.2 k  m.

Так как b₁, b₂, …, b_k – базис, то а₁, а₂, …, а_m  L(b₁, b₂, …, b_k) и а₁, а₂, …, а_m – линейно независимы, тогда по тому же следствию m  k, и окончательно получаем, что m = k. Теорема доказана.