6. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.

6. Із курсу математики відомо, що для числових множин важливо вміти порівнювати числа. Для цього на множині необхідно задати відношення порядку. Введені в аксіоматичній теорії цілих невід’ємних чисел означення операцій додавання, віднімання, множення та ділення ґрунтуються на відношенні “безпосередньо слідує за”, яке пов’язує не довільні цілі невід’ємні числа, а лише сусідні. Отже, постає проблема визначення на цій множині відношення порядку. Зробимо це за допомогою наступного означення.

Означення: говорять, що ціле невід’ємне число а більше за ціле невід’ємне число в, якщо існує таке натуральне число k, що виконується рівність а=в+k.

Для позначення відношення “більше” використовують символічний запис “а>в”, який читають так: а більше в або в менше а. Ми вже зазначали, що а=а+1, а тому а>а. Звідси випливає, що відношення “більше” є розширенням відношення “безпосередньо слідує за”. Таким чином, можна твердити, що у множині цілих невід’ємних чисел немає найбільшого числа. Оскільки на множині цілих невід’ємних чисел ми задали відношення “менше” (або “більше”), то множина цих чисел стає упорядкованою. Враховуючи сказане, приймемо наступні означення.

Приєднаємо до множини цілих невід’ємних чисел числа, протилежні до натуральних, тобто –1, -2, -3,...,-n,... . Результатом такого об'єднання стає утворення множини цілих чисел, яку позначають так: Z={0, 1, 2, 3, ... n, ...}. Розглянемо властивості цієї множини.

Властивість 1: Множина цілих чисел впорядкована.

Властивість 2: Множина цілих чисел дискретна.

Щоб зрозуміти, яка множина є дискретною, введемо два означення.

Означення: елементи а і b, які належать множині А, називаються сусідніми, якщо не існує такого елемента с, який лежить між елементами а і b та належить множині А.

Означення: множина А називається дискретною, якщо для кожного її елемента існує сусідній.

Властивість 3: множина цілих чисел немає ні найменшого, ні найбільшого числа (цю властивість можна сформулювати так: множина цілих чисел нескінченна).

Означення: множина називається замкненою відносно деякої алгебраїчної операції, якщо для будь-яких двох елементів цієї множини завжди можна знайти третій елемент, що належить цій множині, та є результатом цієї операції.

Властивість 4: множина цілих чисел замкнена відносно операцій додавання, віднімання та множення.

Сформульовані властивості приймемо без доведення.