1. Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.
1. Такі наукові дисципліни як фізика, механіка, астрономія, хімія, біологія, математика тощо мають справу з величинами. Якщо проводити вивчення природи без величин, то воно обмежиться лише спостереженнями та знаходитиметься на описовому рівні. Кожен об’єкт навколишньої дійсності має багато різноманітних властивостей, які відображаються у певних властивостях. Наприклад, властивість інертності відображається у такій величині як маса, властивість просторової протяжності - у довжині, властивість квадровності – у площі геометричної фігури тощо.
Слід зазначити, що, з одного боку, величини не існують самі по собі, відірвано від матеріальних об’єктів, а з іншого – величини не є самою реальністю. Величини – це правильне відображення реальності, бо вони, в певній мірі, ідеалізують властивості об’єктів і явищ завдяки абстракції, коли відбувається огрублення дійсності, абстрагування від ряду обставин. У самій природі немає довжини, площі, об’єму, сили, швидкості. У процесі практичної діяльності, вивчення явищ природи величини вводяться для пізнання і опису явищ природи, правильно відображаючи властивості об’єктів реального світу.
Поняття величини виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей і властивостей реальних об’єктів з метою виділення кількісних відношень. Як правило, вивчення величин призводить до необхідності провести її вимірювання. Отже, ми приходимо до поняття вимірювання величин. Цей процес завершується знаходженням числового значення величини (міри величини) при вибраній одиниці вимірювання. З допомогою вимірювання величин відбувається поєднання теорії з практикою.
Величини дають змогу перейти від описового до кількісного вивчення різноманітних властивостей об’єктів, тобто математизувати знання про природу. Разом з тим, серед властивостей об’єктів є такі, які поки що не навчилися вимірювати, наприклад: воля, страх, любов, сміливість тощо. Порівняння таких величин відбувається на інтуїтивній основі, а виконання арифметичних дій над ними неможливе. Між різними властивостями об’єктів і явищ навколишньої реальності існують різноманітні зв’язки, деякі з яких відображаються в залежностях між відповідними величинами. Ці зв’язки можуть виражатися формулами, наприклад F=ma, S=4πR2, V=4/3πR3 тощо. Останнім часом роль величин у вивченні природи невпинно зростає. Так, вони проникають у такі нематематичні науки як педагогіка, психологія, соціологія тощо.
Коли ж виникло поняття величини? - є відомості, що вперше поняття величини з’являється у філософській літературі ще у ІУ столітті до нашої ери, зокрема в працях Аристотеля. Оскільки число виникло спочатку при виконанні операцій лічби та вимірювання, то до ХУІІ століття предметом вивчення були сталі величини. Розвиток фізики та астрономії, які вивчали рухи і процеси, спричинили увагу до вивчення змінних величин. До середини ХІХ століття математика основну свою увагу приділяла вивченню загальних властивостей і відношень об’єктів математичної природи, абстрагуючись від їхнього конкретного змісту і не вивчаючи властивості окремих величин. Незважаючи на сказане, означення поняття величини досить довгий час залишалося на описовому рівні. Для підтвердження сказаного наведемо приклади означень.
Означення Л.Ейлера: величиною називається “все те, що має здатність збільшуватися або зменшуватися”.
Означення О.Д.Александрова: “Величиною взагалі називається така властивість предмета, явища або процесу, яка в якомусь відношенні може бути більшою, або меншою, причому так, що є можливість точного порівняння”.
Лише подальше вивчення величин та їх властивостей призвело до появи аксіоматичного означення величин, з яким ми познайомимося пізніше. Різноманітні величини стали поділяти на певні види, вибираючи для класифікації різноманітні основи, наприклад: скалярні, векторні, тензорні, архімедові, неархімедові тощо. У подальшому ми більш детально познайомимося з окремими класами величин.
Для поділу величин на класи оберемо за основу те, за допомогою чого характеризується величина. Так, у математиці та фізиці найчастіше зустрічаються два види величин. Введемо їхні означення.
Означення 1: скалярними (від латинського scala – східці, шкала) називають такі величини, які повністю характеризуються числовим значенням, тобто числом.
Означення 2: векторними (від латинського vektor – тягти у певному напрямку) називають такі величини, які повністю характеризуються і числовим значенням, і напрямком дії.
Прикладом перших величин є довжина, маса, площа, об'єм тощо. Прикладом векторних величин є сила, прискорення, швидкість тощо. Оскільки математика здебільшого має справу із скалярними величинами, то в подальшому більш детально познайомимося із скалярними величинами. Зазначимо, що із наведених нами означень незрозуміло, а що ж таке “величина”. Саме тому, переходимо до виявлення сутності цього поняття. Означення аддитивно-скалярних величин можна ввести різними способами: 1) за допомогою поняття дійсного числа як функції із заданими властивостями; 2) за допомогою системи аксіом. Для наших потреб краще використати другий спосіб. Враховуючи сутність аксіоматичної побудови теорії, зазначимо, що основним об’єктом буде поняття “величина”, а основним відношенням – відношення доданків до суми. Крім того, перед введенням аксіоматичного означення поняття величини розкриємо сутність поняття “однорідні величини”.
Означення 3: однорідними називаються такі величини, які характеризують одну і ту саму якість об’єктів.
Прикладами однорідних величин є усі довжини відрізків, усі маси тіл, усі площі, всі об’єми тощо. Для будь-яких однорідних величин слід встановити відношення рівності (а=b) і нерівності (a<b або a>b). Встановлені відношення дають змогу порівнювати однорідні величини. Так, довжини або площі можна порівнювати накладанням, маси тіл – за допомогою терезів тощо. Якщо в системі однорідних величин визначена операція додавання однорідних величин, що дає змогу замінити дві однорідні величини а і b їхньою сумою а+b, то така система величин називається системою адитивно-скалярних величин. Суму n однакових доданків а+а+а+...+а будемо позначати nа. Тепер введемо поняття системи адитивно-скалярних величин.
Означення 4: системою однорідних адитивно-скалярних величин називається система величин М={a, b, c, ...}, для якої справедливі наступні аксіоми:
Аксіома 1: для довільних двох величин а і b із системи М виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: 1) a<b; 2) a=b; 3) a>b (символічно ця аксіома запишеться так: [(а,bєМ)(а<bа=bа>b)]).
Аксіома 2 (транзитивність нерівності): для будь-яких трьох однорідних величин а, b і с із системи М із того, що а<b і b<c випливає а<с (символічно: [(а,b,сєМ)(а<bb<c)а<c)]).
Аксіома 3 (існування та єдиність суми): для будь-яких двох однорідних величин а і b із системи М завжди існує єдина величина с цього ж роду із системи М така, що с=а+b (символічно: (а,bєМ)(сєМ)(c=а+b)]).
Аксіома 4 (комутативність додавання): для будь-яких двох однорідних величин а і b із системи М справедлива рівність а+b=b+a (символічно: [(а,bєМ) (а+b=b+а)]).
Аксіома 5 (асоціативність додавання): для будь-яких трьох однорідних величин а, b і с із системи М справедлива рівність: (а+b)+с=а+(b+c) (символічно: [(а,b,сєМ) ((а+b)+с=а+(b+с))]).
Аксіома 6: існує нульова величина (величина, що дорівнює нулю), яку позначають 0 і яка має наступні властивості: 1) (аєМ)(а0)а>0); 2) (аєМ)(а+0=а); 3) (аєМ)(а0=0).
Аксіома 7 (монотонність додавання): для будь-яких однорідних величин а і b0 із системи М їх сума завжди більша а (символічно: [(а,bєМ)(b0)(а+b>а)]).
Аксіома 8 (виконуваність і єдиність віднімання): для будь-яких однорідних величин а і b із системи М, таких, що аb, завжди існує в множині М єдина величина с цього ж роду така, що b+c=а (символічно: [(а,bєМ)(!сєМ)(аbb+с=а)]).
Аксіома 9 (виконуваність і єдиність ділення): для будь-якої однорідної величини а із системи М і натурального числа n завжди існує єдина однорідна величина b із системи М така, що nb=а (символічно: [(аєМ)(nєN)(!bєМ)(nb =а)]).
Аксіома 10 (аксіома Архімеда): для будь-яких однорідних величин а і b>0 із системи М іcнує натуральне число n таке, що а<nb (символічно: [(а,bєM)(b>0)(nєN)(a<nb)]).
Аксіома 11 (аксіома неперервності): для двох послідовностей однорідних величин а1, а2, а3,...,аn і b1, b2, b3,...,bn із системи М таких, що а1<а2<а3<...<аn<…bn<…<b3<b2<b1 завжди існує така величина с із множини М, яка більша від усіх аn і менша, ніж усі bn.
Можна наступним чином розтлумачити зміст деяких аксіом. Так, в аксіомі 6 вводиться для зручності поняття нульової величини. Це означає, що не слід виключати випадок існування відрізка, довжина якого дорівнює нулю (в цьому випадку початок і кінець відрізка співпадають), нульового квадрата, нульового куба тощо. Відповідно до аксіоми 9 будь-яку задану величину а при довільному nєN можна представити у вигляді суми b+b+b+...+b n доданків, кожен із яких дорівнює b, тобто розбити на n рівних частин.
Потреба у вимірюванні виникла з першими кроками трудової діяльності людини. Саме тому, з виникненням величин постала проблема виявлення сутності процесу вимірювання. У процесі практичного вимірювання люди дійшли висновку, що для проведення вимірювання необхідно мати об’єкт вимірювання (що вимірювати) та одиницю вимірювання (чим вимірювати). Для вимірювання певних груп величин необхідно мати ще й деякий вимірювальний пристрій (рулетка, терези, динамометр, вольтметр тощо). Першими вимірювальними інструментами людини слугували пальці рук і ніг, частини тіла (стопа, лікоть). Виміряти якусь величину – це означає порівняти її з іншою величиною цього самого роду, яка прийнята за одиницю вимірювання. Вимірювання величин може виконуватися різними способами: безпосередньо (наприклад, накладанням при вимірювання довжини відрізка чи площі) чи опосередковано з допомогою формул (наприклад, площа прямокутника вимірюється за формулою S=ab, об'єм циліндра – V=πR2H). Введемо означення.
Означення: будемо говорити, що на деякій множині М однорідних величин встановлена система вимірювання, якщо кожній величині а із множини М поставлено у відповідність невід’ємне дійсне число me(a), яке називається її мірою, так, що виконуються наступні аксіоми:
Аксіома 1: міра будь якої величини а із системи М невід’ємна (символічно цю аксіому можна записати так: [(аєМ)(mе(а)0)]).
Аксіома 2: рівні величини мають рівні міри (символічно цю аксіому можна записати так: [(а,bєМ)(аb)(mе(а)=mе(b))]).
Аксіома 3: у системі М існує величина е така, що її міра дорівнює 1 (символічно: [(еєМ)(m(е)=1)]).
Аксіома 4: міра величини а із системи М дорівнює сумі мір величин b і c із цієї ж системи, на які можна розбити дану величину (символічно: [(а,b,сєМ)(а=b+с)(mе(а)=mе(b)+mе(с))]).
Аксіома 5: якою б великою не була величина а із множини М і якою б малою не була величина b із цієї ж множини, завжди знайдеться деяке дійсне число таке, що величина а менша за величину b (символічно: [(а,bєМ)(єR)(а<b)(mе(а)< mе(b))]).
Ми сформулювали означення та відповідні аксіоми, які задають на множині однорідних величин систему вимірювання величин. Ці аксіоми називають аксіомами міри величини. Разом з тим, проводячи вимірювання величин, ми можемо зустрітися принаймні з такими випадками:
вибрана одиниця вимірювання е вкладається у величині а ціле число разів. В цьому випадку процес вимірювання є скінченним, а результат вимірювання, тобто міра величини mе(а), виражається цілим числом;
вибрана одиниця вимірювання е не вкладається у величині а ціле число разів, але існує деяке натуральне число n, що mе(а)=m/n, причому у величині а ціле число разів вкладеться нова одиниця вимірювання е1=е/n, де m і n – натуральні числа. В цьому випадку процес вимірювання також є скінченним, але результат вимірювання, тобто міра величини mе(а), виражається дробовим, тобто раціональним числом;
вибрана одиниця вимірювання е не вкладається у величині а ціле число разів і не існує натурального числа n такого, щоб mе(а)=m/n , де m і n – натуральні числа. В цьому випадку процес вимірювання є нескінченним, але в математиці доведено, що і в цьому випадку результат вимірювання, тобто міра величини mе(а), існує і виражається дійсним числом.
У перших двох випадках величини називають сумірними, тобто такими, які мають спільну міру, а в третьому випадку ми маємо справу з несумірними величинами. В останньому випадку результат вимірювання виражається невід’ємним ірраціональним числом, а в перших двох – невід’ємним раціональним числом.
- Розповсюдження та тиражування без офіційного дозволу заборонено
- Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 6.010102 – початкове навчання (3 р.Н.).
- Робочий навчальний план з математики.
- Питання до екзамену за і семестр
- Питання до екзамену за ііі семестр
- Основна література
- Додаткова література
- Методичні посібники
- Модуль 1: «Множини. Відповідності. Відношення.». Змістовний модуль 1.1. «Множини та операції над ними». План.
- Література
- 1. Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.
- 2. Порожня, скінченна, нескінченна та універсальна множини. Підмножина. Власні та невласні підмножини даної множини. Рівні та нерівні множини.
- 4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону .
- 5. Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Малюнок № 1.8. Перетин множин .
- 6. Операції різниці (віднімання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- 7. Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
- Малюнок № 1.18. Доведення закону де Моргана ()'''.
- 8. Поняття розбиття множини на класи (підмножини), що попарно не перетинаються. Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей. Класифікації.
- 9. Поняття кортежу та впорядкованої пари. Поняття кортежу довжини n. Рівні пари та кортежі.
- Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
- Модуль 1: «Множини. Відповідності Відношення.». Змістовний модуль1.2. «Відповідності та відношення.». План.
- Малюнок № 1.20. Граф відповідності.
- 4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
- Розв’язання:
- Розв’язання:
- Малюнок № 1.21. Розв’язання задачі 2.
- Розв’язання:
- 2. Розміщення з повтореннями та без повторень.
- Доведення:
- Розв’язання.
- Доведення.
- Розв’язання.
- 3. Перестановки з повтореннями та без повторення.
- Розв’язання.
- Доведення.
- Розв’язання.
- 4. Комбiнацiї та їх властивості.
- Доведення.
- Розв’язання.
- Доведення.
- Доведення.
- Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1.
- Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».
- 1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
- Діаграма № 2.1. Відношення часткового збігу між поняттями.
- Діаграма № 2.2. Відношення підпорядкування між поняттями.
- 3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
- Означуване поняття
- Видова відмінність
- Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.2. «Висловлення та предикати.».
- 1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.
- 2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
- 3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.
- Діаграма № 2.3. Множина істинності та заперечення даного предиката ā(х).
- 4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.
- 4.1. Операція кон'юнкції висловлень.
- 4.2. Операція кон'юнкції предикатів.
- 5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.
- 5.1. Операція диз’юнкції над висловленнями.
- 5.2. Диз'юнкція двох предикатів.
- 6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.
- 6.1. Операція імплікації висловлень.
- 6.2. Операція імплікації предикатів.
- 7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.
- 7.1. Операція еквіваленції висловлень.
- 7.2. Операція еквіваленції предикатів.
- Діаграма № 2.7. Множина істинності еквіваленції предикатів.
- Розв’язування:
- Розв’язання:
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 2.2.
- Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.3. «Теореми.». План.
- 1. Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
- 2. Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо).
- Доведення:
- 3. Необхідні та достатні умови.
- 4. Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів л.Ейлера.
- 1. Короткі історичні відомості про виникнення понять натурального числа і нуля.
- 1. Питання № 1 вивчається самостійно за таким планом:
- 2. Різні підходи до побудови теорії цілих невід’ємних чисел.
- Діаграма № 3.1. Співвідношення між числовими множинами.
- 3. Поняття натурального числа і нуля у теоретико-множинній (кількісній) теорії.
- Малюнок № 3.1.
- 5. Множина цілих невід’ємних чисел та її властивості.
- 6. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
- Доведення:
- Доведення:
- 7. Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.
- Доведення:
- Доведення:
- 8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
- Доведення:
- Доведення:
- Доведення:
- Доведення:
- 10. Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.
- Доведення:
- Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 3.1.
- Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.2. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел.». План
- 1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
- 2. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Система аксіом Дж.Пеано. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.
- 3. Метод математичної індукції.
- Доведення:
- Доведення:
- 4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
- Доведення:
- Доведення:
- 5. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
- 6. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.
- 7. Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.
- Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.3. «Натуральне число як результат вимірювання величини.». План.
- 1. Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.
- 2. Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
- Малюнок № 3.6. Різниця а-b відрізків.
- 3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.
- Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел.». Змістовний модуль 4.1. «Системи числення.». План.
- 1. Позиційні та непозиційні системи числення, запис чисел у позиційних і непозиційних системах числення.
- 2. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
- Розв’язання:
- Розв’язання:
- Розв’язання:
- Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел.». Змістовний модуль 4.2. «Подільність цілих невід’ємних чисел.». План.
- 1. Поняття «відношення подільності» та його властивості.
- 2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.
- 3. Загальна ознака подільності б.Паскаля. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
- 4. Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
- 5. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
- Розв’язання:
- 6. Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (нсд) і найменше спільне кратне (нск), їх властивості.
- 7. Обчислення нсд і нск способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
- Розв’язання:
- 8. Ознаки подільності на складені числа.
- Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
- Модуль у. «розширення поняття про число». Змістовний модуль 5.1. «Цілі числа.». План.
- 1. Задача розширення поняття про число. Необхідність розширення множини натуральних чисел.
- 2. Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.
- Малюнок № 5.1. Зображення точок а(4) і в(-6).
- Розв’язання:
- 3. Властивості множини цілих чисел.
- Доведення:
- 4. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
- Модуль у. «розширення поняття про число». Змістовний модуль 5.2. «Раціональні числа.». План.
- 1. Необхідність розширення множини цілих чисел.
- 2. Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробів. Скорочення дробів та їх зведення до спільного знаменника. Нескоротні дроби.
- Доведення.
- 3. Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.
- Доведення.
- Доведення.
- 4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
- Доведення.
- Доведення.
- 5. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
- Доведення.
- Доведення.
- Доведення.
- 6. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.
- Доведення.
- Доведення.
- Доведення.
- 7. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
- 8. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
- Доведення.
- 9. Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.
- Розв’язання.
- 10. Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.
- Діаграма № 5.1. Співвідношення між числовими множинами q, z, n.
- Доведення.
- Малюнок № 5.2.
- 2. Додатні ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.
- Діаграма № 5.2. Співвідношення між числовими множинами n, z, q, r.
- 3. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 4. Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 5. Множення та ділення додатних дійсних чисел.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 6. Множина дійсних чисел та її властивості.
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за модулем у.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.1. «Вирази.».
- 1. Числові вирази та їх види. Значення числового виразу та порядок обчислення значень числового виразу.
- Розв’язання:
- 2. Числові рівності та нерівності, їх властивості.
- 3. Вираз із змінною та його область визначення.
- 4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.2. «Рівняння, їх системи і сукупності.».
- Розв’язання:
- 2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.
- Розв’язання:
- Доведення:
- Розв’язання:
- 3. Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.
- Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
- Малюнок № 6.3.
- Малюнок № 6.4.
- 4. Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 5. Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.3. «Нерівності, їх системи і сукупності.».
- 2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.
- Доведення.
- Доведення.
- 3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.
- Розв’язання.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.4. «Функції.».
- 1. Поняття числової функції, способи їх задання, графік та властивості.
- 2. Пряма пропорційність, її властивості та графік.
- 3. Лінійна функція, її властивості та графік.
- 4. Обернена пропорційність, її властивості та графік.
- 5*. Квадратична функція, її властивості та графік.
- 6*. Операції над функціями та графіками, перетворення графіків.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
- Модуль 7: «елементи геометрії. Величини.». Змістовний модуль 7.1. «Геометричні побудови на площині.».
- 1. Короткі історичні відомості про виникнення та розвиток геометрії. Поняття про аксіоматичний метод побудови геометрії та історію його розвитку в геометрії.
- 2. Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.
- Побудова кута, що дорівнює даному (див. Малюнок № 7.1.).
- Поділ відрізка пополам.
- Малюнок № 7.2. Поділ кута пополам.
- Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої (малюнок № 7.4.).
- Побудова трикутника за трьома сторонами.
- 3. Основні методи геометричних побудов (метод гмт, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії, алгебраїчний метод).
- Метод геометричних місць точок.
- Малюнок № 7.5. Метод симетрії відносно прямої.
- Метод повороту площини навколо точки.
- Метод симетрії відносно даної точки.
- Метод паралельного перенесення.
- Метод гомотетії.
- Алгебраїчний метод.
- 4. Побудова правильних многогранників.
- 2. Правильні многогранники та їх види.
- Доведення:
- 3. Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. Сфера) та їх зображення на площині.
- Модуль 7: «елементи геометрії. Величини.». Змістовний модуль 7.3. «Величини та їх вимірювання.».
- 1. Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.
- 2. Поняття довжини відрізка та способів його вимірювання. Основні властивості довжини. Одиниці вимірювання довжини та співвідношення між ними.
- 3. Поняття площі плоскої фігури, її основні властивості та способи вимірювання. Рівновеликі та рівноскладені фігури. Одиниці вимірювання площі та співвідношення між ними.
- Малюнок № 7.10.. Квадрати нульового рангу.
- Малюнок № 7.11. Фігури ф і f.
- Доведення:
- 4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
- Малюнок № 7.12.
- Малюнок № 7.13.
- Доведення:
- Малюнок № 7.14.
- Доведення:
- Доведення:
- Малюнок № 7.16.
- 5*. Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.