Розв’язання.

У цій задачі є трьохелементна множина М={1, 2, 3}. Із елементів цієї множини потрібно утворити кортеж довжини k, що дорівнює k₁+k₂+k₃, де k₁=3, k₂=2, k₃=1. Отже, k=3+2+1=6, тобто треба утворювати кортежі довжини 6. Це означає, що нам потрібно обчислити число перестановок з повтореннями, в яких перший елемент повторюється три рази, другий - два рази, третій - один. Таким чином, Р_3,2,1=(3+2+1)!/(3!•2!•1!)=6!/(3!•2!•1!)=(1•2•3•4•5•6)/(1•2•3•1•2•1)=720:12=60. Отже, за допомогою цифр 1, 2, 3 можна записати 60 шестицифрових чисел, в яких цифра 1 буде повторюватися цифра 2 - два рази, цифра 3 - один раз.

У комбінаториці розглядаються такою перестановки без повторень. Введемо відповідне означення та виведемо формулу для обчислення їх числа.

Означення: перестановкою без повторень з даних n елементів даної n елементної множини М називають розміщення без повторень із даних n елементів по n елементів.

Як відомо, розміщення - це впорядкована підмножина, а тому одне розміщення без повторень вiдрiзняється від іншого або складом елементів, або порядком їх розташування, а перестановка із даних елементів відрізняється від іншої лише порядком розташування елементів. Число перестановок без повторень позначатимемо Р_n, а цей запис читають: число перестановок з n елементів.

Теорема: число перестановок із даних n елементів обчислюють за формулою: Р_n=n!=1•2•3•...•n.