logo
Лекції з матем - заоч

Доведення:

Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. № 7.15.). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (АВД=ВСД). Тоді S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД). Оскільки S(АВД)=1/2АДВК, то S(АВСД)=21/2АДВК=АДВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=аh.

В С

а

А К b Д

Малюнок № 7.15.

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД), АВ=а, АД=b і ВАД=. Знайдемо ВК із АВК. ВК:АВ=sin. Оскільки S(АВД)=1/2АДВК=1/2АДАВsin, то S(АВСД)=аbsin. Другу формулу також виведено.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d1, ВД=d2 і позначимо АОВ=. Тоді АОД=180-. S(АВСД)=2S(АВД)=2S(ВОА)+2S(АОД)=21/2ВОАОsin+21/2АООДsin(180-)=АО(ВОsin+ОДsin(180-)). Оскільки sin(180-)=sin, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sin=АОВДsin=1/2АСВДsin. Врахувавши, що ВД=d2 і АС=d1, матимемо: S(АВСД)= 1/2АСВДsin=1/2d1d2. Теорему доведено повністю.

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=1/2(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=1/2(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.