Малюнок № 7.14.

Для виведення третьої формули пригадаємо відому із шкільного курсу математики теорему косинусів: c²=a²+b²-2abcos. Звідси маємо: cos=(a²+b²-c²):2ab. Для виведення формули Герона скористаємося формулою S_=¹/₂аbsin. Із шкільного курсу математики відомо, що sin²=1-cos². Звідси: sin²=1-cos²=(1-cos)(1+cos)=(1-((a²+b²-c²):2ab))(1+((a²+b²-c²):2ab))=((2ab-a²-b²+c²):2ab)((2ab+a²+b²-c²):2ab). Оскільки 2ab-a²-b²=-(a²-2ab+b²)=-(a-b)² і 2ab+a²+b²=(a+b)², то дужки матимуть вигляд: ((с²-(a-b)²):2ab)(((a+b)²-с²):2ab)=¹/₄а²b²(с-а+b)(с+а-b)(а+b+с)(а+b-с)=¹/₄а²b²(а+b+с)(а+b-с)(а+с-b)(b+с-а). Якщо позначити а+b+с=2p, то а+b-с=2р-2с, а+с-b=2р-2b і b+с-а=2р-2а. Отже, маємо sin²=2р2(р-а)2(р-b)2(р-с)/¹/₄а²b². Звідси sin=4/2аb(р(р-а)(р-b)(р-с)). Таким чином, S=¹/₂²/_аbаb(р(р-а)(р-b)(р-с))=(р(р-а)(р-b)(р-с)), де р=¹/₂(а+b+c). Третю формулу виведено.

Теорема 6: площа паралелограма обчислюється за формулами: 1) S=ah, де а – довжина сторони, h – довжина висоти, опущеної на цю сторону; 2) S=absin, де а і b – довжини суміжних сторін паралелограма,  - кут між цими сторонами; 3) S=¹/₂d₁d₂sin, де d₁ і d₂ – діагоналі паралелограма,  - кут між діагоналями.