3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.

3. Розглянемо зміст операції додавання та віднімання чисел, які є мірами величини на прикладі вимірювання довжини відрізків. Виберемо на множині відрізків такі відрізки а, b і с, що а=b+c. Нехай при одиничному відрізку е m_e(a)=n, m_e(b)=k і m_e(c)=p. Відповідно до означення відрізок b розіб’ється на k одиничних відрізків, відрізок с - на р одиничних відрізків, а тому відрізок а – на n одиничних відрізків. Отже, маємо а=b+с=ke+pe=e+e+e+...+e+e+e+e+...+e=e+e+e+...+e=(k+p)e, тобто n=k+p.

k p k+p=n

Отже, під сумою натуральних чисел k і р, які є мірами довжини відрізків b і c, розуміють числове значення довжини відрізка а, що дорівнює сумі відрізків b і c, довжини яких виражаються натуральними числами k і p. Таке розуміння суми натуральних чисел не суперечить комутативному та асоціативному законам операції додавання.

Щоб виявити зміст операції віднімання над натуральними числами, які є мірами довжини, розглянемо відрізки а, b і с такі, що с=а-b. Якщо m_e(a)=n, m_e(b)=k і m_e(c)=p, то p=m_e(c)=m_e(а-b)=m_e(a)-m_e(b)=nе-kе=(n-k)е. Отже, різницею натуральних чисел n і k, які є мірами довжини відрізків а і b, називається числове значення довжини відрізка с, що дорівнює різниці відрізків а і b, довжини яких виражаються натуральними числами n і k.

У практичній діяльності часто зустрічаються випадки, коли за допомогою вибраного одиничного відрізка е вимірювати довжину даного відрізка незручно, а тому доводиться вибирати інший одиничний відрізок, який менший або більший за вибраний. Розглянемо деякий відрізок а і одиничний відрізок е. Нехай m_e(а)=nа=nе. Виберемо новий одиничний відрізок е₁, який вміщується в одиничному відрізку е k-разів, тобто е=kе₁. З’ясуємо, чому дорівнює m_e1(а). Оскільки а=nе і е=kе₁, то а=nе=n(kе₁)=(nk)е₁. Таким чином, m_e1(а)=m_e(а)m_e1(е). Виходячи із цього, можна прийняти наступне означення.

Означення: добуток натуральних чисел n і k, які є мірами довжини, можна розглядати як перехід від більш крупної одиниці е вимірювання довжини відрізка до більш дрібної одиниці довжини е₁.

Таким чином, множення натуральних чисел, які є значеннями довжини відрізків, відображає перехід до нової одиниці довжини. Якщо натуральне число n – це значення довжини відрізка а при одиниці довжини е, а натуральне число k –значення довжини відрізка е при новій одиниці довжини е₁, то добуток натуральних чисел п і к є значенням довжини відрізка е при одиниці довжини е₁.

Розглянемо відрізок а і одиничний відрізок е. Нехай m_e(a)=nа=nе. Виберемо новий одиничний відрізок е₁=kе. Звідси маємо: е=е₁:k. Оскільки а=nе і е=е₁:k, то а=nе=n(е₁:k)=(n:k)е₁. Отже, m_e1(a)=m_e(a):m_e1(a). Звідси цілком логічним буде прийняття такого означення.

Означення: частку від ділення натурального числа n на натуральне число k, які є мірами довжини, можна розглядати як перехід від одиниці довжини е до більш крупної одиниці довжини е₁.

Отже, частка від ділення натурального числа n на натуральне число k, якщо числа n і k є значеннями довжин відрізків, відображає перехід до нової одиниці довжини е₁, яка більша, ніж е. Якщо натуральне число n – значення довжини відрізка а при одиниці довжини е, а натуральне число k – значення довжини відрізка е₁ при одиниці довжини е, то частка n:k є значенням довжини відрізка а при одиниці довжини е₁.

Так само, як і при розгляді двох попередніх теорій цілих невід’ємних чисел, можна довести, що ці операції для натуральних чисел як мір величини існують (операції віднімання та ділення при певних умовах), єдині, а операції додавання і множення підкоряються комутативному та асоціативному законам і пов’язані між собою дистрибутивним законом. Отже, кожна із розглянутих теорій цілих невід’ємних чисел більш глибоко характеризує ту чи іншу сторону практичної чи математичної діяльності людини. Наявність цих теорій надає можливість залежно від обставин використовувати ту із них, яка є для даної ситуації оптимальною. Окрім того, кількісна (або теоретико-множинна теорія) вказує, що джерелом її виникнення була операція лічби. Для аксіоматичної (або порядкової) таким джерелом були потреби математики, хоча не слід забувати і про порядкову лічбу. Нарешті, виникнення теорії натурального числа як результату вимірювання величин спричинилося потребами у вимірюванні найрізноманітніших величин.