Доведення:

Доведення цієї теореми буде складатися із двох частин. У першій частині доведемо існування таких чисел, тобто існування операції ділення з остачею, а у другій – її єдиність. Між числами а і b може існувати лише одне із співвідношень: 1) а<b; 2) а=b; 3) а>b. Якщо а<b, то а=b0+а, де q=0 і r=а. Отже, умови виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а=b, то а=b1+0, де q=1 і r=0. Таким чином, умови також виконуються, тобто такі числа існують. Якщо а>b, то можливі два випадки: а) а ділиться націло на b; б) а не ділиться націло на b. У першому випадку згідно означення частки існує деяке число q таке, що а=bq, тобто а=bq+0. Таким чином, в усіх розглянутих випадках числа q і r існують.

Розглянемо випадок, коли а не ділиться націло на b. Утворимо послідовність чисел b1, b2, b3,..., bq, b(q+1), ..., bа, ... Серед цих чисел , які діляться націло на b, знайдуться два послідовних числа такі, що bq<а<b(q+1), або bq<а<bq+b. Якщо від усіх частин останньої нерівності відняти bq, то одержимо нерівність 0<а-bq<b. Позначивши а-bq=r, дістанемо: а=bq+r, де 0<r<b. Таким чином, і в цьому випадку числа q і r існують. Отже, існування частки і остачі доведено.

Доведемо, що частка і остача єдині. Припустимо, що існує дві пари чисел q₁, r₁, q₂, r₂ таких, що а=bq₁+r₁, де 0<r₁<b, і а=bq₂+r₂, де 0<r₂<b, q₁q₂ і r₁r₂. Звідси bq₁+r₁=bq₂+r₂. Оскільки r₁r₂., то виберемо для визначеності, що r₁r₂. Тоді b(q₁-q₂)=r₂-r₁. Із того, що вираз b(q₁-q₂) ділиться націло на b, випливає, що і вираз r₂-r₁ ділиться націло на b. Оскільки 0r₂-r₁<b, то вираз r₂-r₁ може ділитися націло на b лише в тому випадку, коли r₂-r₁=0, тобто r₂=r₁. Звідси випливає, що b(q₁-q₂)=0. Оскільки b0, то q₁-q₂=0, тобто q₁=q₂. Таким чином, ми прийшли до суперечностей із вибором чисел q₁, r₁, q₂, r₂. Ця суперечність дозволяє твердити, що припущення про не єдиність частки і остачі було хибним. Отже, теорему доведено повністю.