Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону .

Доведемо сполучний або асоціативний закон ()С=(С) за допомогою міркувань. Оскільки дві множини вважаються рівними, якщо кожен елемент першої множини є елементом другої і, навпаки, кожен елемент другої множини є елементом першої множини, то доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент, що належить лівій частині асоціативного закону, є елементом і правої частини.

1. Нехай х()С. Згідно означення об’єднання множин це означає, що: або 1) х(), або 2) хС, або 3) х і хС. Якщо х, то або 1) х, або 2) х, або 3) х і х. Якщо х, то, переходячи до правої частини закону, на основі означення об’єднання множин можна стверджувати, що х(С). Якщо х, то хС, тобто х(С). Якщо х і х, то х(С). Якщо ж, нарешті, хС, то х(С), а тому х(С). Таким чином ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки елемент у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Перша частина теореми доведена.

2. Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай у(С). Згідно означення об’єднання множин можливі такі випадки: або 1) у, або 2) уС, або 3) у і уС. Якщо у, то у, а тому у()С. Якщо уС, то або 1) у, або б) уС, або в) у і уС. Якщо у, то у тоді у()С. Якщо уС, то у()С. Якщо у і уС, то у()С. Аналогічно легко довести справедливість рівності у випадку, коли у і уС. Оскільки елемент у в правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Другу частину теореми доведено.

Таким чином, кожен елемент лівої частини є елементом правої частини і, навпаки. А тому, ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що ()С=(С). Закон доведено.

Приклад: утворити об’єднання множин А та В, якщо множина А={1,2,3,4,5}, а В=а,в,с. а,в,с.