logo
Лекції з матем - заоч

5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.

4.2. Як відомо, для одержання висловлення із предиката необхідно замінити змінну (змінні) назвою конкретного предмета, тобто використати спосіб підстановки, або використати операцію навішуванням квантора. А чи можна над предикатами виконувати й інші операції? - так, бо їх можна перетворити у висловлення. Всі предикати також поділяються на прості або елементарні та на складені. Для того, щоб визначити операцію кон’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени і набрав прохідний бал” - кон'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: кон'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на множині Х і який істинний при всіх тих хХ, при яких одночасно істинні обидва предикати.

При оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)В(х), тобто ТАВ, на діаграмі Ейлера-Венна заштрихуємо множину істинності предиката А(х) горизонтальними штрихами, а множину істинності предиката В(х) – вертикальними штрихами. Тоді множина істинності предиката А(х)В(х) буде зображатися тією частиною множини Х, на якій штрихи накладаються (див. діаграму № 2.4.).

Х

ТАВ

Діаграма № 2.4. Множина істинності кон’юнкції предикатів ТАВ = ТАТВ.

Таким чином, множина істинності предиката А(х)В(х) є перерізом множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність ТАВ=ТАТВ. Операція кон’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція кон’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.