1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.

1. Існують різні підходи до побудови математичних теорій. Що вивчає кожна математична теорія? – деяку математичну структуру, тобто деяку множину, елементи якої можуть перебувати в певних відношеннях і мати певні властивості. В чому полягає зміст теорії? – а) в означенні понять і відношень; б) у доведенні властивостей об’єктів даної теорії; в) у доведенні відношень, визначених в цій теорії. Чи можна дати означення всіх понять? – ні, бо кожне означення зводить одне поняття до іншого, вже відомого. А чому не можна довести всі властивості? – бо кожне доведення полягає у виведенні нових властивостей з вже відомих. Отже, ми маємо протиріччя.

Як же в науці розв’язують ці протиріччя? – по-перше, вибирають основні неозначувані об’єкти і відношення; по-друге, формулюють деякі їхні властивості (аксіоми), які приймаються без доведення; по-третє, на основі неозначуваних понять і відношень та аксіом формулюють означення всіх понять і доводять на основі означень та аксіом всі інші твердження теорії. Такий метод побудови теорії одержав назву аксіоматичного.

У чому ж суть аксіоматичного методу побудови математичної теорії? – 1) задається деяка множина М основних об’єктів теорії, що будується; 2) вибирають первісні, неозначувані поняття; 3) вибирають первісні, неозначувані відношення між ними; 4) формулюють твердження, які приймаються без доведення та які називають аксіомами, бо їхня істинність перевірена багатовіковим досвідом людства; 5) формулюють означення всіх нових понять теорії, що будується, використовуючи первісні поняття; 6) формулюють і доводять твердження теорії, що будується, спираючись на означення та аксіоми. Такий метод побудови теорії вважається в математиці одним із найбільш поширених і строгих.

Цей метод з’явився ще до нашої ери, а його відкриття приписують Піфагору (ІІІ ст. до н. е.). Одним із найвідоміших застосувань аксіоматичного методу до побудови математичної теорії є “Начала” Евкліда (ІІІ ст. до н.е.), в яких він здійснив спробу аксіоматичної побудови геометрії. Поворотним етапом у розвитку цього методу стала побудова М.І.Лобачевським (1826 р.) неевклідової геометрії. Подальший розвиток аксіоматичного методу до побудови строгих наукових теорій знайшов своє застосування при побудові як математичних, так і інших наукових теорій різноманітних галузей природознавства. Таким чином, поступово сформувався сучасний підхід до аксіоматичної побудови теорії.

У своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи: на першому етапі, який завершився у 3-4ст. до н.е. першими спробами аксіоматичної побудови геометрії Евклідом; другий етап завершився наприкінці 19 століття створенням Д.Гілбертом, Дж.Пеано та іншими аксіоматичних побудов математичних теорій; на третьому етапі Д.Гілберт та його учні створили формальні системи та формалізовану аксіоматичну теорію. Спочатку аксіоматичний метод був застосований для побудови геометрії, потім знайшов своє застосування в арифметиці, теорії ймовірностей, теорії множин тощо. Він також застосовувався в деяких розділах фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка тощо). Наявні спроби його застосування для побудови таких дисциплін як етика, соціологія, економічні теорії, біологія тощо, але поки що задовільних результатів це не дало.