logo
Лекції з матем - заоч

7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.

6.2. Для того, щоб визначити операцію імплікації предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „якщо х – склав всі екзамени, то він набрав прохідний бал” – імплікацією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: імплікацією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на тій самій множині Х і який хибний при всіх тих хХ, при яких предикат А(х) – істинний, а предикат В(х) – хибний.

Оскільки при оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)→В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)→В(х), тобто ТА→В, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності ТАВ можна знайти, використавши рівність А(х) В(х)=Ā(х)В(х). Отже, маємо: ТАВ =ТАТВ=ТАТВ.

Відомо, що предикат А(х)В(х) буде хибним для тих значень хєХ, для яких предикат А(х) істинний, а предикат В(х) – хибний, тобто на множині ТАТВ =ТАТВ = ТА  ТВ. Отже, множиною істинності предиката А(х)В(х) – є об'єднання множини істинності предиката В(х) і доповнення до множини істинності предиката А(х) (див. діаграму № 2.6.).

Діаграма № 2.6. Зображення множини істинності імплікації ТАВ=ТАТВ.

Чи розглядають імплікації в шкільному курсі математики? – так, але найчастіше розглядаються імплікації, які істинні при всіх хХ. Прикладами таких предикатів можуть бути такі: „Якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5”; „Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом”.