1. Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.

1. Вивчення будь-якого розділу математики супроводжується доведенням тверджень, серед яких істотну роль відіграють теореми, тобто твердження, в справедливості яких потрібно переконатися шляхом доведення. В шкільному курсі математики вивчаються теореми, які мають різноманітну форму запису. Для того, щоб успішно формувати у школярів уявлення про теорему та способи її доведення, необхідно знати форми запису, будову та види теорем. Ці знання ґрунтуються на поняттях висловлення та операцій над ними, предикатів та кванторів. Якщо проаналізувати більшість теорем, то можна помітити, що вони складаються з таких структурних компонентів: 1) пояснювальна частина, в якій роз’яснюється, для яких об’єктів доводиться теорема; 2) умова теореми, в якій вказується на ті поняття, що використовуються в теоремі, та яка може мати різноманітну структуру (бути простим висловленням; бути кон’юнкцією, диз’юнкцією, запереченням тощо кількох висловлень); 3) висновок теореми. Дуже часто теореми формулюють в імплікативній формі, коли пояснювальна частина символічно зображається у формі квантора загальності чи існування, а умова і висновок – у вигляді предикатів. Зазначимо, що при словесному формулюванні теореми, її пояснювальна частина не завжди формулюється явно, але її можна виділити. Наприклад, у формулюванні теореми «якщо точка лежить на перпендикулярі до середини відрізка, то вона рівновіддалена від кінців цього відрізка» пояснювальна частина «кожна точка перпендикуляра до середини відрізка» не сформульована явно.

Як правило, в теоремі присутні як мінімум два предикати, один із яких виражає умову теореми, а інший – висновок. Предикати, які виражають умову чи висновок, можуть бути складеними. Пояснювальна частина теореми символічно може записуватися у вигляді кванторів існування чи загальності. Проілюструємо це на прикладі такої теореми «для будь-яких дійсних чисел а, b, с, якщо ав і bс , то ас». У цій теоремі пояснювальна частина буде такою «для будь-яких дійсних чисел», а тому символічно її можна записати так: (а,b,сєR). Умовою теореми буде кон’юнкція предикатів (аbbс), а висновком теореми – предикат ас. Отже, символічно теорема запишеться так: (а,b,сєR)((аbbс)→(ас)). Таким чином, умова теореми є складеним предикатом (кон’юнкцією двох предикатів), а висновок теореми є простий предикат. У пояснювальній частині можуть бути одночасно представлені квантори існування і загальності. Наприклад: для будь–яких двох дійсних чисел a та b існує єдине число с, таке, що а-в=с.

О скільки практично кожну теорему можна представити у вигляді імплікації двох предикатів, то, пригадуючи операцію імплікації предикатів, зазначимо, що є чотири види імплікацій. Саме тому можна твердити, що можна виділити чотири види теорем: 1) дана або пряма теорема, яку символічно можна записати так: А(х)→В(х); 2) обернена теорема, яку символічно можна записати так: В(х)→А(х); 3) протилежна теорема, яку символічно записують так: А(х)→В(х); 4) протилежна до оберненої або обернена до протилежної, яку символічно записують так: В(х)→А(х).

Р озглядаючи імплікацію висловлень і предикатів, за допомогою побудови таблиці істинності ми довели, що серед чотирьох видів імплікацій є дві пари рівносильних, а саме: 1) (А(х)→В(х))≡(В(х)→А(х)); 2) (В(х)→А(х))≡(А(х)→В(х)). Із цих рівностей випливає, що не потрібно доводити всі чотири теореми, а слід довести лише дві, тобто по одній з кожної пари. Причому в математиці доводять з кожної пари ту теорему, яку легше довести.

Розглянемо способи утворення вказаних видів теорем на прикладі наступної «якщо один із співмножників добутку дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю» - дана теорема, яка істинна. Щоб утворити теорему, обернену до даної поміняємо місцями умову і висновок. Одержимо теорему «якщо добуток двох співмножників дорівнює нулю, то один із співмножників добутку дорівнює нулю» - обернена теорема, яка хибна, бо нулю можуть дорівнювати обидва співмножники. Щоб сформулювати протилежна теорему, слід заперечити умову та висновок даної теореми. В цьому випадку отримуємо «якщо жоден із співмножників не дорівнює нулю, то добуток не дорівнює нулю» - протилежна теорема, яка істинна. Сформулюємо четверту теорему «якщо добуток не дорівнює нулю, то жоден із співмножників не дорівнює нулю» - протилежна до оберненої чи обернена до протилежної, яка істинна.