logo
Лекції з матем - заоч

Доведення.

Доведення теореми складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (IV). Нехай Т1Х - це множина розв’язків нерівності (І), а Т4Х - це множина розв’язків нерівності (IV). Виберемо в множині Т1 довільне х0Т1 і підставимо у нерівність (І). Після цього одержимо істинну числову нерівність f(х0)>g(х0). Підставивши х0 у вираз (х), ми одержимо числовий вираз (х0), який набуває від’ємних значень. Помножимо обидві частини істинної числової нерівності f(х0)>g(х0) на вираз (х0), що приймає лише від’ємних значень. Тоді, згідно властивостей істинних числових нерівностей, нерівність f(х0)(х0)<g(х0)(х0) буде істинною числовою нерівністю. Ми можемо одержати її з нерівності (IV), замінивши в ній х на х0. Це означає, що х0 є розв’язком нерівності (IV), тобто х0Т4. Оскільки значення х0Т1 ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента цієї множини. А це означає, що кожен елемент множини Т1, тобто кожен розв’язок нерівності (І), є елементом множини Т4, тобто є розв’язком нерівності (ІУ). Отже, на основі означення підмножини маємо: Т1Т4. Першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (IV) є розв’язком нерівності (І). Виберемо довільне y0єТ4Х і підставимо його у нерівність (IV). Тоді одержимо істинну числову нерівність f(y0)(y0)<g(y0)(y0). Оскільки (y0) - це числовий вираз, що приймає від’ємних значень для всіх у0Х. Поділивши на нього обидві частини нерівності f(y0)(y0)<g(y0)(y0), ми одержимо істинну числову нерівність f(y0)>g(y0) (Чому?). Цю нерівність f(y0)>g(y0) можна одержати з нерівності (І), замінивши х на y0. Отже, y0 є розв’язком нерівності (І). Оскільки y0єТ4 ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елементу y0єТ4. Це означає, що кожен елемент множини Т4 є елементом множини Т1, тобто Т4Т1.

Таким чином, у першій частині ми довели, що Т1Т4., а в другій – що Т4Т1. На основі означення рівності множин це означає, що Т14. Отже, ми показали, що множини розв’язків нерівностей (І) і (ІV) співпадають. Оскільки вони задані на одній множині Х, то ці нерівності рівносильні. Теорему доведено повністю.