2. Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
2. Ми розглянули кількісну (теоретико-множинну) і аксіоматичну (порядкову) теорії цілих невід’ємних чисел. У практичній діяльності людини ці числа використовуються для лічби. Кількісна теорія дає можливість з’ясувати, скільки є елементів в деякій скінченій множині, а порядкова теорія дозволяє встановити в множині певний порядок і з’ясувати, яким по порядку розміщується той чи інший елемент. Виявляється, що у практичній діяльності людини доводиться, чи не частіше, виконувати операцію вимірювання величин (довжина, маса, площа, об’єм тощо). Для цього теж доводиться користуватися цілими невід’ємними числами. З цією метою в математиці відповідно до практичних потреб людини довелося побудувати ще одну теорію цілих невід’ємних чисел. У цій теорії ціле невід’ємне число розглядається як результат вимірювання величини. Розкриємо сутність цієї теорії на прикладі натурального числа як результату вимірювання довжини відрізків.
Якщо є два відрізка a і b, то порівняти їх можна двома способами: 1) безпосередньо, накладанням; 2) опосередковано, за допомогою третього відрізка. У другому випадку досить часто використовують так званий одиничний відрізок (позначають е). Сутність процесу вимірювання за допомогою одиничного відрізка полягає в тому, що ми послідовно відкладаємо його на заданому відрізку. При цьому можливі два випадки:
1) після деякого відкладання кінець одиничного відрізка співпав з кінцем заданого відрізка. В цьому випадку процес вимірювання закінчується і довжина відрізка виражається натуральним числом, яке показує, скільки разів одиничний відрізок вміщається в даному відрізку. Це число і називають мірою заданого відрізка при заданому одиничному відрізку е. Символічно це позначають так: me(a). Цей запис читають так: міра відрізка а при одиничному відрізку е або m від a при одиничному відрізку е. Так символічний запис me(a)=k означає, що одиничний відрізок е вмістився у даному відрізку k разів;
2) після деякого відкладання одиничного відрізка на заданому відрізку залишиться відрізок, менший, ніж одиничний. У цьому випадку результат вимірювання в загальному випадку не буде виражатися натуральним числом і процес вимірювання не буде закінчуватися. Результатом порівняння довжин двох відрізків може бути один із трьох випадків: 1) а=b; 2) аb; 3) аb. Вказані випадки можна проілюструвати на наступних малюнках №№ 3.2-3.4.
а
А
О в В
Малюнок № 3.2. Відрізки ОА=а і ОВ=b рівні.
а А
О в В
Малюнок № 3.3. Відрізок ОА=а більший за відрізок ОВ=b (а>b).
а А
О в В
Малюнок № 3.4. Відрізок ОА=а менший за відрізок ОВ=b (а<b).
Таким чином, на множині відрізків ми задали відношення рівності відрізків, яке має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, тобто є відношенням типу еквівалентності, та відношення “менше” (“більше”), яке є відношенням строгого порядку. Як відомо із шкільного курсу математики, над відрізками можна виконувати операції: а) додавання та віднімання відрізків; б) множення та ділення відрізка на натуральне число. Визначимо ці операції над відрізками.
Означення: відрізок а є сумою відрізків а1, а2, а3, ..., аn, якщо вони лежать на одному й тому ж самому промені, не мають жодної спільної внутрішньої точки та кінець кожного попереднього відрізка є початком наступного.
Операція додавання відрізків підкоряється комутативному (переставному) та асоціативному (сполучному) законам. Щоб побудувати відрізок, який є сумою відрізків а1, а2, а3, ..., аn потрібно на довільній прямій від довільної точки послідовно відкласти один за одним задані відрізки, а тоді відрізок, який знаходиться між обраною точкою та кінцем останнього із відкладених відрізків, і буде сумою відрізків а1, а2, а3, ..., аn. Проілюструємо це за допомогою наступного малюнка № 3.5.
а1 а2 а3 …. аn
а1+а2+а3+...+аn
Малюнок № 3.5. Сума відрізків а1, а2, а3, ..., аn.
Операцію віднімання відрізків визначимо з допомогою наступного означення.
Означення: різницею двох заданих відрізків а та b називають такий третій відрізок с=а-b, який в сумі з відрізком b дає нам відрізок а, тобто (а-b)+b=а.
Щоб побудувати різницю двох відрізків, потрібно на довільній прямій від довільної точки відкласти відрізок а і від одного із його кінців відкласти відрізок b. Тоді різницею а-b двох відрізків а і b буде відрізок, що залишиться. Проілюструємо це з допомогою наступного малюнка № 3.6.
а
b а-b
- Розповсюдження та тиражування без офіційного дозволу заборонено
- Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 6.010102 – початкове навчання (3 р.Н.).
- Робочий навчальний план з математики.
- Питання до екзамену за і семестр
- Питання до екзамену за ііі семестр
- Основна література
- Додаткова література
- Методичні посібники
- Модуль 1: «Множини. Відповідності. Відношення.». Змістовний модуль 1.1. «Множини та операції над ними». План.
- Література
- 1. Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.
- 2. Порожня, скінченна, нескінченна та універсальна множини. Підмножина. Власні та невласні підмножини даної множини. Рівні та нерівні множини.
- 4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону .
- 5. Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- Малюнок № 1.8. Перетин множин .
- 6. Операції різниці (віднімання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
- 7. Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
- Малюнок № 1.18. Доведення закону де Моргана ()'''.
- 8. Поняття розбиття множини на класи (підмножини), що попарно не перетинаються. Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей. Класифікації.
- 9. Поняття кортежу та впорядкованої пари. Поняття кортежу довжини n. Рівні пари та кортежі.
- Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
- Модуль 1: «Множини. Відповідності Відношення.». Змістовний модуль1.2. «Відповідності та відношення.». План.
- Малюнок № 1.20. Граф відповідності.
- 4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
- Розв’язання:
- Розв’язання:
- Малюнок № 1.21. Розв’язання задачі 2.
- Розв’язання:
- 2. Розміщення з повтореннями та без повторень.
- Доведення:
- Розв’язання.
- Доведення.
- Розв’язання.
- 3. Перестановки з повтореннями та без повторення.
- Розв’язання.
- Доведення.
- Розв’язання.
- 4. Комбiнацiї та їх властивості.
- Доведення.
- Розв’язання.
- Доведення.
- Доведення.
- Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1.
- Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».
- 1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
- Діаграма № 2.1. Відношення часткового збігу між поняттями.
- Діаграма № 2.2. Відношення підпорядкування між поняттями.
- 3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
- Означуване поняття
- Видова відмінність
- Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.2. «Висловлення та предикати.».
- 1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.
- 2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
- 3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.
- Діаграма № 2.3. Множина істинності та заперечення даного предиката ā(х).
- 4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.
- 4.1. Операція кон'юнкції висловлень.
- 4.2. Операція кон'юнкції предикатів.
- 5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.
- 5.1. Операція диз’юнкції над висловленнями.
- 5.2. Диз'юнкція двох предикатів.
- 6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.
- 6.1. Операція імплікації висловлень.
- 6.2. Операція імплікації предикатів.
- 7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.
- 7.1. Операція еквіваленції висловлень.
- 7.2. Операція еквіваленції предикатів.
- Діаграма № 2.7. Множина істинності еквіваленції предикатів.
- Розв’язування:
- Розв’язання:
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 2.2.
- Модуль 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.3. «Теореми.». План.
- 1. Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
- 2. Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо).
- Доведення:
- 3. Необхідні та достатні умови.
- 4. Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів л.Ейлера.
- 1. Короткі історичні відомості про виникнення понять натурального числа і нуля.
- 1. Питання № 1 вивчається самостійно за таким планом:
- 2. Різні підходи до побудови теорії цілих невід’ємних чисел.
- Діаграма № 3.1. Співвідношення між числовими множинами.
- 3. Поняття натурального числа і нуля у теоретико-множинній (кількісній) теорії.
- Малюнок № 3.1.
- 5. Множина цілих невід’ємних чисел та її властивості.
- 6. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
- Доведення:
- Доведення:
- 7. Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.
- Доведення:
- Доведення:
- 8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
- Доведення:
- Доведення:
- Доведення:
- Доведення:
- 10. Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.
- Доведення:
- Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 3.1.
- Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.2. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел.». План
- 1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
- 2. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Система аксіом Дж.Пеано. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.
- 3. Метод математичної індукції.
- Доведення:
- Доведення:
- 4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
- Доведення:
- Доведення:
- 5. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
- 6. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.
- 7. Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.
- Модуль ііі. «різні підходи до побудови арифметики цілих невідємних чисел». Змістовний модуль 3.3. «Натуральне число як результат вимірювання величини.». План.
- 1. Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.
- 2. Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
- Малюнок № 3.6. Різниця а-b відрізків.
- 3. Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.
- Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел.». Змістовний модуль 4.1. «Системи числення.». План.
- 1. Позиційні та непозиційні системи числення, запис чисел у позиційних і непозиційних системах числення.
- 2. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
- Розв’язання:
- Розв’язання:
- Розв’язання:
- Модуль іу. «системи числення. Подільність чисел.». Змістовний модуль 4.2. «Подільність цілих невід’ємних чисел.». План.
- 1. Поняття «відношення подільності» та його властивості.
- 2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.
- 3. Загальна ознака подільності б.Паскаля. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
- 4. Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
- 5. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
- Розв’язання:
- 6. Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (нсд) і найменше спільне кратне (нск), їх властивості.
- 7. Обчислення нсд і нск способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
- Розв’язання:
- 8. Ознаки подільності на складені числа.
- Завдання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
- Модуль у. «розширення поняття про число». Змістовний модуль 5.1. «Цілі числа.». План.
- 1. Задача розширення поняття про число. Необхідність розширення множини натуральних чисел.
- 2. Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.
- Малюнок № 5.1. Зображення точок а(4) і в(-6).
- Розв’язання:
- 3. Властивості множини цілих чисел.
- Доведення:
- 4. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
- Модуль у. «розширення поняття про число». Змістовний модуль 5.2. «Раціональні числа.». План.
- 1. Необхідність розширення множини цілих чисел.
- 2. Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробів. Скорочення дробів та їх зведення до спільного знаменника. Нескоротні дроби.
- Доведення.
- 3. Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.
- Доведення.
- Доведення.
- 4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
- Доведення.
- Доведення.
- 5. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
- Доведення.
- Доведення.
- Доведення.
- 6. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.
- Доведення.
- Доведення.
- Доведення.
- 7. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
- 8. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
- Доведення.
- 9. Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.
- Розв’язання.
- 10. Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.
- Діаграма № 5.1. Співвідношення між числовими множинами q, z, n.
- Доведення.
- Малюнок № 5.2.
- 2. Додатні ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.
- Діаграма № 5.2. Співвідношення між числовими множинами n, z, q, r.
- 3. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 4. Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 5. Множення та ділення додатних дійсних чисел.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 6. Множина дійсних чисел та її властивості.
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за модулем у.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.1. «Вирази.».
- 1. Числові вирази та їх види. Значення числового виразу та порядок обчислення значень числового виразу.
- Розв’язання:
- 2. Числові рівності та нерівності, їх властивості.
- 3. Вираз із змінною та його область визначення.
- 4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.2. «Рівняння, їх системи і сукупності.».
- Розв’язання:
- 2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.
- Розв’язання:
- Доведення:
- Розв’язання:
- 3. Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.
- Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
- Малюнок № 6.3.
- Малюнок № 6.4.
- 4. Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- 5. Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.3. «Нерівності, їх системи і сукупності.».
- 2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.
- Доведення.
- Доведення.
- 3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.
- Розв’язання.
- Модуль 6. : «вирази. Рівняння. Нерівності. Функції». Змістовний модуль 6.4. «Функції.».
- 1. Поняття числової функції, способи їх задання, графік та властивості.
- 2. Пряма пропорційність, її властивості та графік.
- 3. Лінійна функція, її властивості та графік.
- 4. Обернена пропорційність, її властивості та графік.
- 5*. Квадратична функція, її властивості та графік.
- 6*. Операції над функціями та графіками, перетворення графіків.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Розв’язання.
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.
- Модуль 7: «елементи геометрії. Величини.». Змістовний модуль 7.1. «Геометричні побудови на площині.».
- 1. Короткі історичні відомості про виникнення та розвиток геометрії. Поняття про аксіоматичний метод побудови геометрії та історію його розвитку в геометрії.
- 2. Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.
- Побудова кута, що дорівнює даному (див. Малюнок № 7.1.).
- Поділ відрізка пополам.
- Малюнок № 7.2. Поділ кута пополам.
- Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої (малюнок № 7.4.).
- Побудова трикутника за трьома сторонами.
- 3. Основні методи геометричних побудов (метод гмт, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії, алгебраїчний метод).
- Метод геометричних місць точок.
- Малюнок № 7.5. Метод симетрії відносно прямої.
- Метод повороту площини навколо точки.
- Метод симетрії відносно даної точки.
- Метод паралельного перенесення.
- Метод гомотетії.
- Алгебраїчний метод.
- 4. Побудова правильних многогранників.
- 2. Правильні многогранники та їх види.
- Доведення:
- 3. Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. Сфера) та їх зображення на площині.
- Модуль 7: «елементи геометрії. Величини.». Змістовний модуль 7.3. «Величини та їх вимірювання.».
- 1. Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.
- 2. Поняття довжини відрізка та способів його вимірювання. Основні властивості довжини. Одиниці вимірювання довжини та співвідношення між ними.
- 3. Поняття площі плоскої фігури, її основні властивості та способи вимірювання. Рівновеликі та рівноскладені фігури. Одиниці вимірювання площі та співвідношення між ними.
- Малюнок № 7.10.. Квадрати нульового рангу.
- Малюнок № 7.11. Фігури ф і f.
- Доведення:
- 4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
- Малюнок № 7.12.
- Малюнок № 7.13.
- Доведення:
- Малюнок № 7.14.
- Доведення:
- Доведення:
- Малюнок № 7.16.
- 5*. Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.
- Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів.