2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.

2. Чим відрізняється математична мова від звичайної? – наявністю змінних. Що станеться, якщо у висловлення ввести змінну? – воно буде мати вигляд речення зі змінною, про яке ми не зможемо сказати істинне воно чи хибне, наприклад, „х - студент”. Як з нього зробити висловлення? – підставити замість змінної х прізвище. Отже, в математичній логіці є речення, які містять змінну, заміна якої назвою деякого об'єкта перетворює його у висловлення. Їх прийнято називати предикатами з однією змінною. Термін «предикат» латинського походження, а тому його дослівний переклад з латинської мови означає присудок.

А чи можуть бути предикати з кількома змінними? – так. Чим можна замінити змінну в предикаті? – назвою конкретного предмета. А чи всяке значення може набувати змінна? – ні, таким чином, для кожного предиката слід вказати множину значень змінної. Цю множину називають областю визначення предиката. Залежно від кількості змінних предикати називають і позначають по-різному. Так, предикати, які містять одну змінну, прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту та називати одномісними предикатами. Наприклад: А(х), В(х) тощо, а область його визначення в загальному випадку позначають Х. А(х): «х - студент», де х Х. Символічний запис А(х), хХ читають так: на множині Х задано предикат А(х)”. Якщо х=а, то висловлення, яке отримуємо з предиката А(х) при заміні х на а, позначають А(а). Крім предикатів, що містять одну змінну, розглядають предикати, які містять дві, три, чотири або будь-яке скінченне число змінних. Їх позначають відповідно А(х;у), В(х;у;z), С(х;у;z;v), D(х₁, х₂, х₃,…,х_n). Що ж характеризують предикати? – одномісні предикати характеризують властивості об'єктів, а двомісні, тримісні тощо – відношення між об’єктами. Прикладами предикатів будуть рівняння, нерівності. Наприклад: „ху”, „х=у”, ”ху”, 2х+3у=7. Як із двохмісного предиката одержати висловлення? – замінити назвами конкретних предметів вже дві змінних. Аналогічно можна одержувати висловлення із тримісних, чотиримісних тощо предикатів.

Яких значень може набувати предикат після того, як замість змінної підставлено назву конкретного об’єкту? – 0 або 1. На які дві підмножини можна поділити область визначення Х предиката А(х)? - 1) на множину істинності, до якої входять всі ті хєХ, при підстановці яких у предикат він перетворюється в істинне висловлення. Її позначають Т_А; 2) на множину хибності предиката, яка містить ті значення хєХ, при підстановці яких у предикат ми отримуємо хибне висловлення. А чи можуть предикати набувати однакові значення істинності при певних значеннях змінної? – відповідь на це запитання дає наступне означення.

Означення: Два предиката А(х) і В(х) називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони визначені на одній множині Х і мають однакові множини істинності.

Символічно це записують так: (А(х)~В(х), хХ)↔(Т_А=Т_В).

Ми вже зазначали, що для одержання висловлення із предиката, слід замінити змінну (чи змінні) назвою конкретного предмета. Таку операцію перетворення предиката у висловлення прийнято називати операцією підстановки предметної змінної. А чи є інші операції для перетворення предиката у висловлення? – виявляється, що є, але для цього спочатку введемо два нових поняття.

У повсякденному житті та мові, в математиці досить часто зустрічаються слова чи словосполучення: «існує такий (така, таке, такі)», «є такий (така, таке, такі)». У математичній логіці існують операції над предикатами, які певним чином відповідають цим словам чи словосполученням. З’ясуємо їхню сутність. Розглянемо на множині Х предикат А(х). Нехай властивість А мають деякі хХ. За допомогою висловлювання: „існує таке х, що має властивість А(х)” ми із предиката можемо одержати істинне або хибне висловлення. Наприклад, для предиката А(х):«х - місто» з допомогою слова «існує» ми отримуємо висловлення: «існує таке х, що є містом». Отже, маємо істинне висловлення. Вираз „існує х таке, що...” називається квантором існування і позначається символом (хєХ). Символічний запис (хєХ)А(х) читають так: „Існує х таке, що має властивість А(х)”. Дописування спереду до предиката квантора існування називається операцією навішування квантора або операцією зв'язування квантором, або операцією квантифікації. Таким чином, ці операції дозволяють одержувати із предиката істинні чи хибні висловлення. Змінна, яка зв'язується квантором, називається зв'язаною змінною. Отже, для перетворення предиката у висловлення можна використовувати дві операції: а) операцію підстановки предметної змінної; б) операцію навішування квантора. Зрозуміло, що у двомісному, тримісному тощо предикаті слід використати цю операцію стільки разів, скільки є у ньому змінних, тобто навісити квантор два, три тощо разів.

Означення: квантором існування називається така операція , яка кожному одномісному предикату А(х), визначеному на множині Х, ставить у відповідність одне і тільки одне висловлення (хєХ)А(х), яке буде істинним тоді і тільки тоді, коли існує хоча б одне аєХ таке, що А(а)=1.

У повсякденному житті та мові, в математиці досить часто зустрічаються слова чи словосполучення: «всі», «будь-який», «для всіх», «для кожного» тощо. У математичній логіці існують операції над предикатами, які певним чином відповідають цим словам чи словосполученням. З’ясуємо їхню сутність. Розглянемо на множині Х предикат А(х). Нехай властивість А(х) мають всі хєХ. Тоді за допомогою виразу „для всіх х” ми перетворимо предикат А(х) у висловлення. Вираз „для всіх х...” називається квантором загальності і позначається так (хєХ). Символічний запис (хєХ)А(х) читають так: для всіх (для любого) хєХ справедлива властивість А.

Означення: квантором загальності називається така операція , яка кожному одномісному предикату А(х), визначеному на множині Х, ставить у відповідність одне і тільки одне висловлення (хєХ)А(х), яке буде істинним тоді і тільки тоді, коли для кожного аєХ маємо А(а)=1.

Так само, як і у випадку з квантором існування, дописування спереду до предиката квантора загальності називається операцією навішування квантора або операцією зв'язування квантором, або операцією квантифікації. Таким чином, ці операції дозволяють одержувати із предиката істинні чи хибні висловлення. Змінна, яка зв'язується квантором, називається зв'язаною змінною. Отже, для перетворення предиката у висловлення можна використовувати три операції: а) операцію підстановки предметної змінної; б) операцію навішування квантора існування; в) операцію навішування квантора загальності. Зрозуміло, що у двомісному, тримісному тощо предикаті слід використати ці операції стільки разів, скільки є у ньому змінних, тобто навісити квантор два, три тощо разів.

Виявляється, що між кванторами існування та загальності є певний зв'язок. Для виявлення його сутності розглянемо предикат А(х;у):„х║у” на множині прямих Х. Утворимо за допомогою кванторів існування та загальності наступні висловлення: 1) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «для кожної прямої х і для кожної прямої у в множині прямих Х маємо х║у». Це висловлення хибне; 2) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «для кожної прямої у і для кожної прямої х в множині прямих Х маємо х║у». Це висловлення хибне; 3) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «існує пряма х і існує пряма у в множині прямих Х, що х║у». Це висловлення істинне; 4) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «існує пряма у і існує пряма х в множині прямих Х, що х║у». Це висловлення також істинне; 5) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «існує така пряма х, що для кожної прямої у із множини прямих Х, маємо х║у». Це висловлення хибне; 6) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «для всякої прямої у в множині прямих Х існує пряма х така, що х║у». Це висловлення істинне; 7) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «для всякої прямої х в множині прямих Х існує пряма х така, що х║у». Це висловлення істинне; 8) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «існує пряма у в множині прямих Х, така, що для всякої прямої х маємо, що х║у». Це висловлення істинне.

Розглянутий приклад засвідчує, що переставляння місцями однойменних кванторів не призводить до утворення нового висловлення. Разом з тим, переставляння місцями різнойменних кванторів може призводити до утворення відмінного не тільки за змістом, а й за значенням істинності висловлення. Усе сказане нами про застосування кванторів до двомісних предикатів переноситься на випадок предикатів довільної розмірності.