4.1. Операція кон'юнкції висловлень.

4.1. За допомогою яких слів в мові з одних простих речень можна утворювати складні? – не, і, або, якщо,… то, тоді і тільки тоді, необхідно і достатньо тощо. Як же в математичній логіці із простих висловлень буде утворювати складені? – за допомогою певних операцій (одну із яких, заперечення ми вже розглянули), які певним чином відповідатимуть названим словам або словосполученням. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 - просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „і” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте і парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають кон'юнкцією (грецьк. сonjunctio” - зв'язок, союз) даних висловлень і позначають так: аb. Символічний запис аb читають так: „а і b”, або „а в кон'юнкції з b”, або „кон'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення а і b.

Інколи означення формулюють і так: «кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне із висловлень а і b». Легко довести, що обидва ці означення рівносильні. Крім цього, означення кон'юнкції двох висловлень можна задати за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.3.).

Таблиця № 2.3. Таблиця істинності для операції кон’юнкції.

Яку операцію над числами нагадує нам означення кон’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – операцію множення чисел. Саме тому операцію кон'юнкції називають логічним множенням. Означення операції кон'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: кон’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне з висловлень а, b і с, тобто аbс=(аb)с. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо кон’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.

Безпосередньо із означення кон’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) а1=а; 2) а0=0; 3) аа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція кон’юнкції висловлень підкоряється комутативному (переставному) ав=ва та асоціативному (сполучному) законам (ав)с=а(вс), які потребують доведення. Ці закони доводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі асоціативного закону операції кон’юнкції (див. таблицю № 2.4. Для того, щоб визначити кількість стовпців, слід підрахувати кількість елементарних і складених висловлень у лівій та правій частинах формули. Отже, маємо три елементарних висловлення (а, в, с) та чотири складених висловлення (ав, (ав)с, вс, а(вс)), тобто всього буде сім стовпців. Кількість рядків обчислюється за формулою 2ⁿ+1, де n – це кількість елементарних висловлень. Оскільки у формулі n=3, то рядків буде 2³+1=9. Для заповнення трьох перших стовпців зазначимо, що в них слід записати всі можливі варіанти наборів значень істинності елементарних висловлень а, в, с. У другому рядку перших трьох стовпців записуємо нулі, в наступних трьох – по два нулі й одній одиниці. У 6-8 рядках перших трьох стовпців запишемо по одному нулю та по дві одиниці. І, нарешті, в останньому запишемо три одиниці. Інших варіантів наборів значень істинності немає. Для заповнення четвертого стовпця виконаємо кон’юнкцію першого і другого стовпців, а для заповнення п’ятого стовпця – кон’юнкцію третього і четвертого стовпців. Аналогічно заповнюємо шостий і сьомий стовпці.

Таким чином, щоб переконатися у справедливості асоціативного закону операції кон’юнкції, слід порівняти значення, які містяться у стовпцях, що визначають ліву й праву частині рівності (аb)с=а(bс). Порівнюючи значення п’ятого і сьомого стовпців, бачимо, що вони приймають однакові значення при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень, що входять до їх складу. Отже, права і ліва частина формули (аb)с=а(bс) набуває однакових значень істинності при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень. Це означає, що закон справедливий. Доведення комутативного закону пропонуємо провести самостійно (див. завдання для самостійної роботи студентів).

Таблиця № 2.4. Доведення асоціативного закону операції кон’юнкції.