Розв’язання.

Оскільки в задачі нічого не говориться про те повторюються чи не повторюються цифри в записі чисел, то будемо вважати, що вони повторюються. Отже, в задачі є п’ятиелементна множина Х={1,2,3,4,5}, де n(Х)=5. Із елементів цієї множини потрібно утворювати впорядковані кортежі довжиною 5, бо нам потрібні п’ятицифрові числа, а, оскільки, цифри можуть повторюватися, то мова йде про розміщення з повтореннями. Отже, будемо використовувати формулу для обчислення числа розміщень з повтореннями, тобто Ã_n^k=n^k. У нашому випадку n(Х)=5, k=5, а тому Ã₅⁵=5⁵=3125. Таким чином, число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 5 елементів дорівнює 3125.

У комбінаториці крім розміщень з повтореннями розглядаються розміщення без повторень. Для того, щоб навчитися їх обчислювати введемо означення та доведемо відповідну теорему.

Означення: розміщенням із даних n елементів скінченної множини Х по k елементів називаються впорядковані кортежі довжини k, утворені із елементів множини Х, компоненти яких не повторюються.

Число розміщень без повторень символічно позначається А_n^k i читається: число розміщень із даних n елементів по k елементів або А із n по k.

Теорема: Число розміщень з n елементів по k дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел із яких найбільшим є n.

Символічно сформульована теорема запишеться так: А_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n-k)!