8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).

8. Для визначення операції множення на множині натуральних чисел також можна використати два підходи. Згідно з першим, операція множення визначається на основі операції декартового добутку множин. Розглянемо дві скінченні множини А і В такі, що n(А)=а і n(В)=b. Тепер приймемо таке означення: “Добутком натурального числа а на натуральне число b називається число елементів декартового добутку а-елементної множини А на b-елементну множину В, тобто аb=n(А)●n(В)=n(АВ)”.

Для введення іншого означення розглянемо b скінченних еквівалентних між собою множин А₁, А₂, А₃, ... А_b таких, що А₁А₂А₃...А_b і n(А₁)=n(А₂)=n(А₃)=...=n(А_b)=а. Тепер приймемо таке означення добутку натуральних чисел а і b: “Добутком натурального числа а на натуральне число b, b>1, називають суму b доданків, кожний із яких дорівнює а”. Якщо накласти умову, що множини А₁, А₂, А₃, ... А_b не мають спільних елементів, то аb=n(А₁А₂А₃...А_b)=n(А₁)●n(А₂)●n(А₃)●...●n(А_b)=аb. Оскільки доданків не може бути менше, ніж два, то для множення на 0 і на 1 вводяться додаткові означення: “а0=0 і а1=а”. Число а називають першим множником, число b – другим множником, число аb – добутком. Операцію, за допомогою якої знаходять добуток називають множенням. Число а інколи називають множеним, а число b - множником.

У жодному із наведених нами означень, які еквівалентні між собою, нічого не говориться про існування та єдиність операції множення та про властивості, яким вона задовольняє. Саме тому слід довести наступні теореми.

Теорема 6. (про існування та єдиність добутку): якими б не були цілі невід’ємні числа a і b завжди існує єдине ціле невід’ємне число ab, яке є їх добутком.