logo
Лекції з матем - заоч

4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.

4. Розглянемо дві множини: А={2,3,4} і В={2,4,6}. Утворимо нову множину С={2,3,4,6}. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять хоча б в одну із множин. Множину С, яка складається із елементів, що належать хоча б одній із множин А чи В, називають об’єднанням множин А і В. Її позначають С=А.

Означення: Об’єднанням множин А та В називають третю множину АВ, що складається із елементів, які входять хоча б в одну із множин А чи В.

Символічно наведене означення можна записати так: АВ={х /хА або аВ}. На діаграмі Ейлера-Венна ця множина зображена на малюнку № 1.6.

Малюнок № 1.6. об’єднання множин АВ.

Операція об’єднання може поширюватись на три і більше множин. Вона підкоряється певним законам, серед яких є такі, справедливість яких випливає безпосередньо із означення об’єднання, та такі, які слід доводити. До законів (властивостей) об’єднання, справедливість яких легко обґрунтувати, виходячи із означення об’єднання множин, відносяться:

  1. .

  2. U=U.

  3.  - закон ідемпотентності (незмінності).

До законів, які слід доводити одним із можливих способів (міркуваннями або за допомогою діаграм Ейлера-Венна) відноситься переставний або комутативний закон: . Для його доведення використовуємо діаграми Ейлера-Венна. Намалюємо дві однакові діаграми, на лівій із яких зображатимемо ліву частину рівності, а на правій – праву. На лівій діаграмі заштрихуємо множину  горизонтальними штрихами, а множину  - вертикальними Множина  зображається тією частиною універсальної множини, де є або горизонтальні, або вертикальні штрихи. На правій діаграмі множину  заштрихуємо вертикальними штрихами, а множину В - горизонтальними. Множина  зображається на правій діаграмі тією частиною універсальної множини, де є або вертикальні, або горизонтальні штрихи. Порівнюючи їх, бачимо, що множини  і  зображаються на них однаковими частинами універсальної множини, а тому можна стверджувати, що . Закон доведено (див. малюнок № 1.7.).

АВ ВА