Лекції з матем - заоч

Питання до екзамену за ііі семестр

Короткі історичні відомості про виникнення понять натурального числа і нуля.
Різні підходи до побудови теорії цілих невід’ємних чисел.
Поняття натурального числа і нуля у теоретико-множинній (кількісній) теорії.
Визначення відношень “більше (>)”, “менше (<)”, “дорівнює (=)” на множині цілих невід’ємних чисел. Порівняння натуральних чисел за величиною.
Множина цілих невід’ємних чисел та її властивості.
Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.
Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
Визначення частки цілого невід’ємного числа на натуральне число через розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються. Ділення на множині цілих невід’ємних чисел, зв'язок ділення з множенням. Теореми про існування та єдиність частки.
Операція ділення з остачею на множині цілих невід’ємних чисел.
Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
Система аксіом Дж.Пеано. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.
Метод математичної індукції.
Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.
Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.
Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.
Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.
Означення операцій додавання і віднімання чисел, що розглядаються як міри відрізків. Трактування множення і ділення, які розглядаються як міри відрізків.
Позиційні та непозиційні системи числення, запис чисел у позиційних і непозиційних системах числення.
Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
Запис чисел у позиційних системах числення, відмінних від десяткової. Арифметичні операції над числами у недесяткових позиційних системах числення.
Перехід від запису чисел в одній позиційній системі числення до запису в іншій позиційній системі числення.
Поняття «відношення подільності» та його властивості.
Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.
Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК), їх властивості.
Обчислення НСД і НСК способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
Загальна ознака подільності Б.Паскаля. Ознаки подільності на складені числа.
Задача розширення поняття про число. Необхідність розширення множини натуральних чисел.
Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.
Властивості множини цілих чисел.
Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
Необхідність розширення множини цілих чисел.
Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробів. Скорочення дробів та їх зведення до спільного знаменника. Нескоротні дроби.
Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.
Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.
Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.
Множина раціональних чисел, модуль раціонального числа, операції над раціональними числами. Властивості множини раціональних чисел.
Необхідність розширення множини раціональних чисел.
Додатні ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.
Відношення порядку на множині дійсних чисел.
Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.
Множення та ділення додатних дійсних чисел.
Множина дійсних чисел та її властивості.
Числові вирази та їх види. Значення числового виразу та порядок обчислення значень числового виразу.
Числові рівності та нерівності, їх властивості.
Вираз із змінною та його область визначення.
Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.
Поняття рівняння з однієї змінною як предиката виду f(x)=g(x), де хєХ.
Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.
Рівняння з двома змінними. Рівняння лінії. Рівняння прямої та їх види.
Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування.
Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
Поняття нерівності з однієї змінною як предиката виду f(x)>g(x), де хєХ.
Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.
Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.
Поняття числової функції, способи їх задання, графік та властивості.
Пряма пропорційність, її властивості та графік.
Лінійна функція, її властивості та графік.
Обернена пропорційність, її властивості та графік.
Квадратична функція, її властивості та графік.
Короткі історичні відомості про виникнення та розвиток геометрії. Поняття про аксіоматичний метод побудови геометрії та історію його розвитку в геометрії.
Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.
Основні методи геометричних побудов (метод ГМТ, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, .метод гомотетії, алгебраїчний метод).
Побудова правильних многогранників.
Геометричні фігури, їх означення, властивості та ознаки. Поняття многогранника, його елементів, види многогранників (призма, паралелепіпед, піраміда) та їх зображення на площині. Теорема Л.Ейлера.
Правильні многогранники та їх види.
Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. сфера) та їх зображення на площині.
Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.
Поняття довжини відрізка та способів його вимірювання. Основні властивості довжини. Одиниці вимірювання довжини та співвідношення між ними.
Поняття площі плоскої фігури, її основні властивості та способи вимірювання. Одиниці вимірювання площі та співвідношення між ними.
Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.
Поняття величини та способів її вимірювання у курсі математики початкових класів. Величини початкового курсу математики (маса, ціна, кількість, вартість, швидкість, час, відстань тощо), способи та одиниці їх вимірювання, залежність між одиницями вимірювання.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ДО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

Содержание