2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

2. Розглянемо деякі теореми, що дозволять давати відповідь на запитання про подільність найпростіших виразів на число.

Теорема 1 : якщо кожен доданок суми цілих невід’ємних чисел ділиться на деяке натуральне число, то і сума цих чисел поділиться на це натуральне число.

Доведення : доведення проведемо для випадку двох доданків. Розглянемо цілі невід’ємні числа a , b , сN, a+b . Нехай за умовою теореми , . Спробуємо довести, що (a+b) c. За означенням відношення подільності, якщо , , то існують такі к,mєN, що справедливі рівності а=ск і в=сm. Тоді а+в=ск+сm=с(к+m) (за дистрибутивним законом). Отже, a+b=c(k+m). Оскільки k, m , то (k+m) . Таким чином, a+b=c(k+m). Тоді (a+b) c. Теорема доведена.

Доведену теорему можна поширити на будь-яке скінченне число доданків. Виявляється, що доведена теорема є лише достатньою ознакою подільності суми на число. Сформулюємо необхідну і достатню ознаку подільності суми на число, яку приймемо без доведення. Ознака: якщо один із кількох доданків суми цілих невід’ємних чисел ділиться на дане число, то для того, щоб сума ділилась на це число, необхідно і достатньо, щоб і кожен із решти доданків ділився на це число.

Теорема 2: якщо зменшуване і від’ємник різниці двох цілих невід’ємних чисел діляться на дане натуральне число, то і різниця поділиться на це натуральне число. – доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно, використовуючи доведення попередньої теореми!

Теорема 3: Добуток цілих невід’ємних чисел ділиться на натуральне число тоді, коли на дане число ділиться хоча б один із співмножників.

Доведення: для спрощення викладок доведення теореми проведемо для випадку двох співмножників. Нехай дано добуток цілих невід’ємних чисел ab. Виберемо для визначеності, що . Доведемо, що тоді c. Оскільки , то за означенням відношення подільності маємо а=ск, де кє . Отже, ав=(ск)в=с(кв). Оскільки то , тому (ab) c. Теорему доведено.