2. Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.

2. Отже, для розширення множини натуральних чисел відповідно до сформульованих вимог приєднаємо до множини N-чисел число 0 (нуль) і числа, протилежні натуральним, тобто від’ємні числа. Перед тим, як будувати множину нових чисел, приймемо наступні означення.

Означення: числа а і –а називаються протилежними, якщо а+(-а)=0 або –(-а)=а.

Означення: від’ємним цілим числом називається число виду –а, де аєN.

Виходячи з наведених означень, можна зробити наступні висновки: 1) натуральні числа можна називати додатними цілими числами, позначаючи їх Z₊; 2) множину від’ємних цілих чисел слід позначати Z_-; 3) множини Z₊ і Z_- еквівалентні, тобто Z₊~Z_-. Легко бачити, що Z₊Z_-=Ø, Z₊{0}=Ø і Z_-{0}=Ø. Таким чином, можна прийняти таке означення.

Означення: множиною цілих чисел називається об’єднання множини натуральних чисел (Z₊), чисел, протилежних їм (Z_-), та числа 0 (нуль), тобто Z=Z₊Z_-{0}.

Означення: два цілих числа називаються числами одного і того ж самого знаку, якщо вони обидва або додатні, або від’ємні. Два цілих числа називаються числами різних знаків, якщо одне з них додатне, а друге - від’ємне.

Означення: модулем або абсолютною величиною цілого числа (символічно │а│) називається таке число, що виконуються умови: 1) │а│=а, якщо а≥0; 2) │а│=- а, якщо а<0.

Означення: пряму р з вибраними на ній точкою О – початком відліку, точкою А₁ – одиничною точкою і додатнім напрямком від точки О до точки А₁, називають числовою чи координатною прямою.

Ввівши поняття числової прямої, ми можемо зобразити будь-яке ціле число точкою цієї прямої. Справа в дужках біля назви точки пишуть число, яке називають координатою точки і яке показує, на якій відстані від початку відліку, тобто від точки О, знаходиться дана точка. Точки, що мають додатні координати зображають справа від початку відліку, а точки з від’ємними координатами – зліва. На наступному малюнку № 5.1 зображено точки А(4) і В(-6).

В(-6) 0 А(4)