Доведення.

Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення необхідно і достатньо, то доведення складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо достатню умову: «якщо канонічний розклад знаменника дробу містить прості множники 2 і 5, то даний дріб можна представити десятковим дробом».

Оскільки за умовою число n має у своєму розкладі лише прості множники 2 і 5, то його можна представити так n=2^m•5^k, де для визначеності виберемо m>k. Тоді = . На основі основної властивості дробу та врахувавши, що m>k, помножимо чисельник і знаменник дробу на 5^m-k. Отримаємо = = = . Отже, звичайний дріб ми представили у вигляді дробу із знаменником, що дорівнює степені 10, тобто у вигляді десяткового дробу.

У другій частині теореми доведемо необхідну умову «якщо даний звичайний дріб можна представити у вигляді десяткового дробу, то канонічний розклад його знаменника містить прості множники 2 і 5». Нехай звичайний дріб можна представити у вигляді десяткового дробу так: = . Тоді за означенням рівності дробів маємо n•q=r•10^p. Для доведення слід показати, що n не містить простих множників, відмінних від 2 і 5. Використаємо для доведення метод від супротивного, тобто припустимо, що до розкладу числа n входить просте число s, яке не дорівнює ні 2, ні 5. Нехай n=s•2^α•5^β. Отже, маємо рівність s•2^α•5^β•q=r•10^p. 10^p не ділиться націло на s, бо НСД(s,10^p)=1. Тоді r s. Оскільки n s і r s, то СД(n,r)=s, а це суперечить умові, що дріб нескоротний. Таким чином, ця суперечність свідчить, що наше припущення про наявність в розкладі числа n множників, відмінних від 2 і 5 було хибним. Отже, знаменник дробу не ділиться на жодне просте число, відмінне від 2 і 5. Другу частину та всю теорему доведено повністю.

Для перетворення звичайного дробу в десятковий (якщо це можливо) необхідно поділити чисельник дробу на знаменник, наприклад, =0,375. Практично досить часто використовують десяткові дроби з сталим знаменником 100 чи 1000. такі дроби легко порівнювати та виконувати над ними арифметичні дії.

Означення: процентом або відсотком називають одну соту частину числа чи одиниці.

Означення: проміле називають одну тисячну частину числа чи одиниці.

Терміни «процент» і «проміле» походять від латинських слів «pro centum» (від ста) та «pro mile» (від тисячі)». Для позначення процентів використовують символ «%», а для позначення проміле – «‰». У практичній діяльності людині доводиться мати справу з трьома видами задач, пов’язаними з відсотками, а саме: 1) задача на знаходження процентів від числа, наприклад: «Площа ділянки складає 70 га. Городина займає 5%. Яка площа городини?»; 2) задача на знаходження числа за його процентом, наприклад: «20% довжини відрізка складає 5 м. Яка довжина всього відрізку?»; 3) задача на знаходження процентного відношення чисел, наприклад: «За планом робітник повинен був виготовити 100 деталей, а він виготовив 120 деталей. На скільки відсотків перевиконано план?».

Розглянемо тепер дії над десятковими дробами, зазначивши, що не будемо доводити терем про існування та єдиність суми, різниці, добутку та частки, бо кожен десятковий дріб легко представити у вигляді звичайного дробу, для яких відповідні теореми доведені. Так само приймемо без доведення той факт, що операції додавання і множення підкоряються комутативному та асоціативному законам, а також пов’язані між собою дистрибутивним законом. Враховуючи сказане, сформулюємо лише правила виконання арифметичних операцій над десятковими дробами.

Правило 1: щоб додати два десяткових дроби, потрібно підписати їх один під одним так, щоб кома була під комою, виконати додавання, не звертаючи уваги на кому, а в результаті кому поставити під комою.

Правило 2: щоб відняти два десяткових дроби, потрібно підписати їх один під одним так, щоб кома була під комою, виконати віднімання, не звертаючи уваги на кому, а в результаті кому поставити під комою.

Правило 3: щоб помножити два десяткових дроби потрібно, перемножити їх як натуральні числа, а в добутку відокремити комою справа наліво стільки десяткових знаків, скільки їх було в обох співмножниках разом.

Правило 4: щоб поділити два десяткових дроби потрібно, в діленому і дільнику перенести кому на стільки десяткових знаків вправо, щоб дільник став цілим числом, а потім виконати ділення на натуральне число.

Якщо розглядаються десяткові дроби з однаковими чи різними знаками, то для визначення знаку результату слід користуватися тими ж правилами, що і для звичайних дробів.