Доведення:

1) перевіримо справедливість цього твердження при n=2, бо ліва частина рівності є сумою. Для цього знайдемо суму перших двох доданків лівої частини і порівняємо його із значенням правої частини рівності при n=2. Маємо: 1²+2²=1+4=5. . Отже, 5=5. Твердження при n=2 справедливе (якщо б воно було хибним, то далі проводити доведення не потрібно!);

2) припускаємо, що твердження справедливе при n=к, тобто 1²+2²+3²+…+к²= ;

3) виходячи із припущення, тобто із того, що сума квадратів перших к натуральних чисел дорівнює , спробуємо довести, що сума перших к+1 натуральних чисел дорівнює . Утворимо в лівій частині даної рівності суму квадратів перших к+1 натурального числа. Для цього до лівої частини припущення додамо квадрат ще одного числа, тобто маємо: 1²+2²+3²+…+к²+(к+1)². Суму перших к доданків, згідно припущення, можна замінити виразом . У других дужках маємо квадратний тричлен, який можна розкласти в добуток лінійних множників згідно формули: ах²+вх+с=а(х–х₁)(х–х₂), де х₁ і х₂ – корені квадратного тричлена. Щоб розкласти квадратний тричлен 2к²+7к+6 на лінійні множники, розв'яжемо квадратне рівняння: 2к²+7к+6=0. Оскільки D=49–48=1>0, то к₁=-2; к₂=-3/2. Отже, 2к²+7к+6=2(к+2)(к+3/2)=(к+2)(2к+3). Тоді маємо = . Таким чином, ми одержали той вираз, який було потрібно;

4) отже, на основі аксіоми індукції, ми можемо твердити, що рівність справедлива для будь-якого натурального числа. Справедливість рівності доведено.

Приклад 2. Довести, що для будь-якого натурального n справедлива рівність: .