Доведення:

1. Перевіримо справедливість твердження для будь-якої пари послідовних натуральних чисел. Дійсно, добуток 1•2=2, а 2 кратне 2. Отже, для n=1 і n=2 твердження справедливе.

2. Припустимо, що твердження справедливе для будь-якої пари послідовних натуральних чисел n і n+1, тобто n(n+1) 2.

3. Спробуємо довести справедливість твердження для n=k+1. Утворимо добуток (n+1)(n+2) і розкриємо другу дужку. Отримуємо (n+1)n+2(n+1). У цій сумі перший доданок (n+1)n ділиться націло на 2 згідно припущення, а другий доданок 2(n+1) ділиться націло на 2 згідно теореми про подільність добутку. Таким чином, кожен доданок суми ділиться на 2, а тому і сума (n+1)n+2(n+1)=(n+1)(n+2) поділиться націло на 2. Отже, теорему доведено.

1

3

2

4

Малюнок № 2.1.

Наступним способом доведень є спосіб доведення від супротивного, сутність якого полягає в тому, що ми заперечуємо висновок теореми і пробуємо це довести. В результаті ми приходимо до суперечності із умовою теореми або з доведеним раніше твердженням. Найбільш часто цей спосіб доведення використовують при доведенні теорем єдиності. Покажемо це на такому прикладі: якщо різниця двох дійсних чисел існує, то вона єдина.

Доведення: нехай нам дано два дійсних числа а,вєR. Згідно означення різниці число а-в=сєR. Припустимо, що різниця двох дійсних чисел не єдина. Нехай існують дві різних різниці, тобто: а-b=с₁ і а-b=с₂, причому с₁≠с₂. Звідси маємо а=b+с₁ і а=b+с₂, тобто b+с₁=b+с₂, а тепер с₁=с₂, що суперечить вибору чисел с₁ і с₂. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина. Теорему доведено.