7. Віднімання цілих невід’ємних чисел, зв'язок віднімання з додаванням. Теореми про існування та єдиність різниці.

7. Визначення операції віднімання на множині натуральних чисел можна провести двома способами: 1) на основі операції віднімання множин; 2) як дії, оберненої до дії додавання. Для введення першого означення розглянемо скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b і ВА. Тепер приймемо таке означення: “Різницею натуральних чисел а і b називається число елементів у доповненні множини В до множини А, тобто а-b=n(А\В)”. Число а називається зменшуваним, число b – від’ємником, число а-b – різницею чисел а і b. Операція знаходження різниці чисел називається операцією віднімання. Зв'язок дій віднімання та додавання проявляється в тому, що: по-перше, знаючи суму і один доданок, можна знайти інший доданок; по-друге, результат дії віднімання перевіряється дією додавання. Отже, ці дії є взаємно оберненими. Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність різниці, то потрібно довести наступні теореми:

Теорема 4: різниця двох натуральних чисел а і b існує тоді і тільки тоді, коли аb.