1. Поняття числової функції, способи їх задання, графік та властивості.

1. Розглядаючи різні види відношень, ми серед них виділили одне з основних відношень в математиці, а саме функціональне відношенням між елементами множин Х і У.

Означення: функціональним відношенням або функцією називається відповідність між множиною Х і множиною У, в яких область визначення збігається з областю відправлення.

Означення: відповідність між множиною Х і множиною У, при якій з кожним елементом множини Х зіставляється один і тільки один елемент множини У називається функцією.

Означення: областю визначення функції називається множина всіх тих значень хєХ, яких може набувати аргумент х.

Означення: множиною значень функції називається множина всіх тих значень уєУ, яких набуває функція.

На мові графів ми розуміли наведені означення функцій наступним чином: з кожної точки множини Х виходить точно одна стрілка; із різних точок множини Х можуть йти стрілки до одного й того ж самого елемента множини У; у множині У можуть бути вільні елементи. Таким чином, граф функціонального відношення характеризується тим, що: по-перше, з кожної точки множини Х виходить точно одна стрілка; по-друге, до одного й того ж самого елемента множини У можуть йти стрілки із різних елементів множини Х; по-третє, у множині У можуть бути вільні елементи.

Означення: бінарне відношення ƒ={F, Х, У}, де FХ×У, в якому для кожного елемента хєХ існує точно один елемент уєУ такий, що хfу, називається функціональним відношенням або відображенням множини Х в множину У, або функцією.

Ми також з’ясували, що множина F складається з таких пар (х;у)єХ×У, які задовольняють наступним умовам: 1) всі елементи множини Х є першими компонентами цих пар; 2) не існує різних пар з рівними першими компонентами (Чому?). Крім того, функціональне відношення вважалося заданим, якщо, по-перше, задано область визначення функції, тобто множину Х; по-друге, вказано спосіб знаходження значень функції f(х). У шкільному курсі математики область визначення та множину значень функції позначали відповідно: D(f) і E(f). Пригадавши ці поняття, приступаємо до розгляду числових функцій.

Нехай Х і У – деякі числові множини, причому ХR і УR.

Означення: числовою функцією, яка визначена на множині Х і приймає значення з множини У, називається відповідність f, яка кожному числу хєХ ставить у відповідність єдине число уєУ.

У шкільному курсі математики Ви зустрічалися принаймні з такими функціями: S=ПR², V=⅓ПR²H, у=kх, у=kх+b, у=ах²+bх+с тощо. Область визначення функції – це множина тих значень х, при яких можна знайти f(х), а множина значень функції – це множина тих значень f(х), які набуває функція. Нехай задано функцію у=f(х) з областю визначення D і множиною значень Е. Побудуємо прямокутну систему координат Х0У з певною одиницею масштабу і домовимося область визначення функції, тобто множину D(f), позначити на осі Ох, а множину значень, тобто множину Е(f) - на осі Оу. Розглянемо всі можливі впорядковані пари чисел (х;у), де хєD, уєЕ, і розглянемо множину G(f) точок площини R×R=R², таких, що G(f)={(х;у)/у=f(х), хєD}.

Означення: графіком функції у=f(х) називається множина точок (х;у), де хєD(f), а у=f(x).

Ще з шкільного курсу математики Вам відомі наступні способи задання функцій: 1) аналітичний або за допомогою формули, яка вказує на сукупність операцій, які слід виконати для знаходження за даними значеннями аргументу відповідних значень функції. Якщо при цьому не вказується область визначення функції D(f), то це означає, що вона збігається із областю існування формули, яка задає функцію; 2) графічний спосіб, сутність якого полягає в тому, що у системі координат ХОУ задається множина точок координатної площини, координати яких задовольняють функцію; 3) табличний спосіб, при якому задаються значення аргументу та відповідні значення функції у вигляді таблиці. Прикладом такого задання функцій є чотиризначні математичні таблиці В.Брадіса; 4) словесний спосіб, коли функція задається певним висловленням, наприклад: ціла частина числа, дробова частина числа тощо.

Означення: якщо для двох довільних значень аргументу х₁ і х₂ із множини D, які задовольняють нерівність х₁<х₂, виконується нерівність f(х₁)<f(х₂), то функція у=f(x) називається зростаючою на множині D.

Означення: якщо для двох довільних значень аргументу х₁ і х₂ із множини D, які задовольняють нерівність х₁<х₂, виконується нерівність f(х₁)>f(х₂), то функція у=f(x) називається спадною на множині D.

Означення: функція y=f(x) називається парною на симетричній відносно початку координат множині D, якщо для будь-якого хєD виконується рівність f(-x)=f(x).

Означення: функція y=f(x) називається непарною на симетричній відносно початку координат множині D, якщо для будь-якого хєD виконується рівність f(-x)= -f(x).

У математиці доведено, що графіки парних функцій розміщені симетрично відносно осі ординат, а непарних функцій - симетрично відносно початку координат. Перейдемо до розгляду властивостей деяких елементарних функцій.