Доведення:

Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. № 7.15.). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (АВД=ВСД). Тоді S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД). Оскільки S(АВД)=¹/₂АДВК, то S(АВСД)=2¹/₂АДВК=АДВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=аh.

В С

а

А К b Д

Малюнок № 7.15.

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД), АВ=а, АД=b і ВАД=. Знайдемо ВК із АВК. ВК:АВ=sin. Оскільки S(АВД)=¹/₂АДВК=¹/₂АДАВsin, то S(АВСД)=аbsin. Другу формулу також виведено.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d₁, ВД=d₂ і позначимо АОВ=. Тоді АОД=180-. S(АВСД)=2S(АВД)=2S(ВОА)+2S(АОД)=2¹/₂ВОАОsin+2¹/₂АООДsin(180-)=АО(ВОsin+ОДsin(180-)). Оскільки sin(180-)=sin, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sin=АОВДsin=¹/₂АСВДsin. Врахувавши, що ВД=d₂ і АС=d₁, матимемо: S(АВСД)= ¹/₂АСВДsin=¹/₂d₁d₂. Теорему доведено повністю.

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=¹/₂(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=¹/₂(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.