Метод гомотетії.

Означення: Гомотетією з центром О і коефіцієнтом k називається таке перетворення площини, при якому образом довільної точки А є така точка А', що ОА'=kОА. Точки А і А' називаються гомотетичними.

Гомотетія повністю визначається заданням центра О і коефіцієнта k та має наступні властивості: якщо k>0, то точки А і А' лежать на прямій ОА по один бік від т. О, а якщо k<0, то - по різні сторони від т. О; незмінними прямими при гомотетії є всі прямі, що проходять через центр; гомотетія зберігає колінеарність точок; пряма відображається на паралельну пряму; якщо гомотетія відображає точки А і В відповідно у точки А' і В', то А'В'=kАВ, тобто вона є перетворенням подібності; гомотетичні фігури подібні.

Як же використовувати цей метод при розв’язанні задач на побудову? – по-перше, відкидають одну із умов, яка характеризує розміри шуканої фігури і будують фігуру, подібну до шуканої; по-друге, побудована допоміжна фігура перетворюється на подібну до неї так, щоб після перетворення використовувалася і раніше відкинута умова.

Отже, суть методу гомотетії полягає в тому, що крім даних і шуканих фігур розглядають ще допоміжні фігури, утворені із цих фігур або їхніх елементів за допомогою доцільно вибраної подібності (гомотетії). Внаслідок подібних перетворень встановлюються зв’язки між даними і шуканими елементами, які приводять: а) до безпосереднього розв’язання задачі; б) до допоміжної відомої задачі.