Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.

Властивості 1-7 доводяться за допомогою міркувань. Покажемо це на прикладі останньої властивості. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини, яка складається із впорядкованих пар, належить правій частині. Нехай пара (х;у)А(В\С). Згідно означення декартового добутку це означає, що хА і уВ\С. Якщо уВ\С, то за означенням різниці множин уВ і уС. Оскільки хА і уВ, то за означенням декартового добутку множин (х,у)АВ. Оскільки хА і уС, то (х,у)АС. Якщо (х,у)АВ і (х,у)АС, то згідно з означенням операції різниці множин (х,у)(АВ)\(АС), тобто правій частині. Пару (х,у) у лівій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить лівій частині. Таким чином, множина А(В\С) є підмножиною множини (АВ)\(АС), тобто А(В\С)(АВ)\(АС). Отже, першу частину доведено.

У другій частині доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай пара (а;в)(АВ)\(АС). Згідно означення різниці, (а;в)(АВ) і (а;в)(АС). Звідси аА і вС. Якщо (а;в)(АВ), то за означенням декартового добутку множин аА і вВ. Оскільки вВ і вС, то за означенням різниці множин вВ\С. Якщо аА і вВ\С, то за означенням декартового добутку множин (а;в)А(В\С), тобто лівій частині. Пару (а;в) у правій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить правій частині. Таким чином, множина (АВ)\(АС) є підмножиною множини А(В\С), тобто (АВ)\(АС)А(В\С). Отже, другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (А(В\С))((АВ)\(АС)), а у другій – ((АВ)\(АС))(А(В\С)). Звідси на основі означення рівності множин маємо рівність А(В\С)=(АВ)\(АС), тобто справедливість властивості доведено повністю.

Спробуємо знайти залежність, яка б допомогла шукати число елементів декартового добутку множин, якщо відомо число елементів вихідних множин. Нехай А={1, 2, 3} і В={а, в}. Утворимо множину АВ={(1;а ), (1;в), (2;в), (3;а), (3;в)}. Легко бачити, що n(А)=3, n(В)=2 і n(АВ)=6, тобто n(АВ)=n(А)·n(В). У математиці для загального випадку доведено теорему: „Число елементів декартового добутку множин А₁, А₂, А_3, ... ,А_к, що мають відповідно n_1, n_2, n_3,...,n_k елементів дорівнює добутку чисельностей цих множин, тобто n(А₁А₂А₃…А_к)=n(А₁)n(А₂)n(А₃)…n(А_к)=n_1,n_2,n_3, ..., n_k”.

Як же визначити число елементів об’єднання двох скінченних множин? Для цього доведеться розглядати два випадки: 1) множини А і В не мають спільних множин, тобто АВ=; 2) множини А і В мають спільні елементи, тобто АВ. У першому випадку використовується формула n(АВ)=n(А)+n(В), а в другому - n(АВ)=n(А)+n(В)–n(АВ). Чи можна поширити ці формули на будь-яке число елементів? – математика дає на це ствердну відповідь, тобто справедлива формула: n(А₁А₂А₃...А_к)=n(А₁)+n(А₂)+n(А₃)+...+n(А_к), коли множини попарно не перетинаються.