Доведення:

Розглянемо скінченні множини А і В такі, що n(А)=а, n(В)=b, АВ= і ВА. Тоді n(А)n(В), тобто аb. Оскільки А\А=, то n(А\А)=n(А)-n(А)=n(), тобто а-а=0. Це означає, що при а=а різниця а-а існує. З іншого боку: оскільки А=В(А\В) і В(А\В)=, то n(А)=n(В(А\В))=n(В)+n(А\В). Тоді а=b+(а-b). Отже, при а>b різниця також існує. Теорему доведено.

Остання рівність дає змогу прийняти інше означення різниці: “Різницею двох натуральних чисел а і b називається таке третє число а-b, яке в сумі з числом b дає нам число а”. Зазначимо, що обидва означення рівносильні та що дія віднімання є оберненою до дії додавання.

Теорема 5: якщо різниця натуральних чисел існує, то вона єдина.