7.1. Операція еквіваленції висловлень.

7.1. Ми вже розглянули чотири операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали: частка не; сполучники і, або; слова чи словосполучення «якщо…, то…», «випливає», «слідує», «імплікує». У математиці досить часто використовуються словосполучення «тоді і тільки тоді», «необхідно і достатньо», слова «рівносильно», «еквівалентно» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «тоді і тільки тоді» або «необхідно і достатньо» нові висловлення: „число 2 просте тоді і тільки тоді, коли воно парне” або «для того, щоб число 2 було простим, необхідно і достатньо, щоб воно було парним». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають еквіваленцією даних висловлень і позначають так: а↔b або аb. Символічний запис а↔b або аb читають так: „а рівносильно b”, або „а еквівалентно b”, або „еквіваленція висловлень а і b”, або „для а необхідно і достатньо b”, або „а тоді і тільки тоді, коли b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: еквіваленцією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а↔b, яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення істинності висловлень а і b співпадають (або коли вони одночасно істинні або одночасно хибні).

З а допомогою таблиці істинності операцію еквіваленції можна задати так (див. таблицю № 2.10.). Зв'язок між операціями еквіваленції, імплікації, кон’юнкції, заперечення та диз'юнкції виражається за допомогою таких формул: 1) а↔b=(а→b)(b→а); 2) а↔b=(āb)(bа). Другу формулу легко одержати із першої, якщо врахувати формулу: а→b=āb.