Лекції з матем - заоч

Доведення.

Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій. С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1))!/(k!•(n-k-1)!)+((n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!). Зведемо ці два дроби до спільного знаменника, враховуючи, що (n-k)!=1•2•3•...•(n-k-1)•(n-k) i (n-k-1)!=1•2•3•...•(n-k-1). Верхній i нижній факторіали вiдрiзняються лише тільки одним множником - (n-k), так само k! i (k-1)! вiдрiзняються лише одним множником k, а тому спільним знаменником для двох дробів буде k!•(n-k)!, тоді маємо: С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1)!•k+(n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!•k)=((n-1)!(k+n-k))/(k!•(n-k)!)=((n-1)!•n)/(k!•(n-k)!)=n!/(k!•(n-k)!=С_n^k. Властивість доведено.

Остання доведена теорема лежить в основі побудови, так званого, трикутника Паскаля, який дає можливість обчислювати значення С_n^k, знаючи С_n-1^k і С_n-1^k-1. Цей трикутник представлено у наступній таблиці № 1.2.

С₀⁰=1

С ₁⁰=1

С ₁¹=1=1

С ₂⁰=1

С ₂¹=2

С₂²=1

С ₃⁰=1

С ₃¹=3

С₃²=3

С₃³=1

С₄⁰=1

С₄¹=4

С₄²=6

С₄³=4

С₄⁴=1

С₅⁰=1

С₅¹=5

С₅²=10

С₅³=10

С₅⁴=5

С₅⁵=1

С₆⁰=1

С₆¹=6

С₆²=15

С₆³=20

С₆⁴=15

С₆⁵=6

С₆⁶=1

С₇⁰=1

С₇¹=7

С₇²=21

С₇³=35

С₇⁴=35

С₇⁵=21

С₇⁶=7

С₇⁷=1

С₈⁰=1

С₈¹=8

С₈²=28

С₈³=56

С₈⁴=70

С₈⁵=56

С₈⁶=28

С₈⁷=8

С₈⁸=1

Таблиця № 1.2. Трикутник Паскаля.

В цій таблиці у крайніх лівих і правих стовпцях стоять одиниці. У першому рядку записано С₀⁰=1, у другому - С₀⁰=1 і С₀⁰=1, у третьому – ліворуч С₂⁰=1, а праворуч С₂¹=1, а тоді, щоб обчислити С₂¹, необхідно додати числа, які стоять у попередньому рядку. Отже, С₂¹=1+1=2. Аналогічно можна обчислювати інші значення числа комбінацій, наприклад С₅³= С₄²+С₄³=6+4=10. Напрямок руху можна показати стрілками.

Содержание