Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик)

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b), то на цьому інтервалі найдеться принаймні одна точка  a <  < b, така, що .

Це означає, що якщо на деякому проміжку виконуються умови теореми, то відношення приросту функції до приросту аргументу на цьому відрізку дорівнює значенню похідної у деякій проміжній точці.

Розглянута вище теорема Ролля є частковим випадком теореми Лагранжа.

Відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної АВ.

у

В

А

0 а  b x

Якщо функція f(x) задовольняє умовам теореми, то на інтервалі (а, b) існує точка  така, що у відповідній точці кривої y = f(x) дотична паралельна січній, що з'єднує точки А і В. Таких точок може бути й трохи, але одна існує точно.

Доведення. Розглянемо деяку допоміжну функцію

F(x) = f(x) – y_{сек АВ}

Рівняння січної АВ можна записати у вигляді:

Функція F(x) задовольняє теоремі Ролля. Дійсно, вона неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b). За теоремою Ролля існує хоча б одна точка , a <  < b, така що F() = 0.

Оскільки , то , отже

Теорему доведено.

Визначення. Вираз називається формулою Лагранжа або формулою скінчених приростів.

Надалі ця формула буде дуже часто застосовуватися для доведення найрізноманітніших теорем.

Іноді формулу Лагранжа записують у трохи іншому вигляді:

,

де 0 <  < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a).